13. Метод Ейлера розв’язку олдр n-го порядку з постійними коефіцієнтами (випадок комплексних коренів характеристичного рівняння).

Розглянемо ОЛДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами:

(1) y’’ + py’ + qy = 0 p,q є R

Розв’язки шукатимемо у вигляді y = e^kx , де k – деяке число. Цей вигляд запропонований Ейлером.

y’= ke^kx y’’= k²e^kx

k²e^kx + рke^kx + qe^kx = 0

Скоротимо на e^kx. Отримуємо: k₂ + рk + q = 0 (2)

Отримане рівняння (2) є характеристичним рівнянням для (1). Для знаходження загального розв’язку (1) достатньо знайти 2 частинні розв’язки, які утворюють фундаментальну систему.

При розв’язуванні рівняння (2) отримали комплексні корені (D<0):

k₁ = α + iβk₂ = α - iβ

У цьому випадку розв’язками будуть:

y₁` = e<sup>(α + iβ)x</sup>y<sub>2</sub>` = e^{(α - iβ)x}

Використаємо формулу Ейлера:

y₁` = e<sup>αx</sup>(cosβx + isinβx) y<sub>2</sub>` = e^αx(cosβx - isinβx)

Використовуючи властивості розв’язків,у якості фундаментальної системи візьмемо:

y₁­ = (y₁` + y<sub>2</sub>`)/2 = e^αxcosβx y₂ = (y₁` - y<sub>2</sub>`)/2i = e^αxsinβx

Отже, загальнийодноріднийрозв’язок:

Y_ЗО = e^αx(С₁cosβx + С₂sinβx)

14. Метод невизначених коефіцієнтів пошуку часткових розв’язків нлдр зі стандартною f(X):

f(x) = e^αxP_m(x)

f(x) = e^αx(P_m(x)cosβx + Q_l(x)sinβx)

P_m(x) iQ_l(x) – многочлени m-го i l-го порядків. α – деяке число.

Сутність методу полягає у наступному: з вигляду правої частини записуємо очікувану форму Y_ЧН з невизначеними коефіцієнтами, після цього підставляємо її у рівняння і з отриманої тотожності знаходимо значення коефіцієнтів.

Розглянемо перший випадок:

(1) y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_ny = e^αxP_m(x)

ДляньогоY_ЧН = x^re^αxP_m`(x) , де r – кратність кореня α (якщо α – не корінь, то r =0 ), P<sub>m</sub>`(x) – многочлен n-го степеня з невизначеними коефіцієнтами (P_m`(x) = A₀x^m + A₁x^m-1 + …+ A_m).

Другийвипадок:

(2) y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_ny =e^αx(P_m(x)cosβx + Q_l(x)sinβx)

(3) Y_ЧН = x^r(e^αxP_k`(x)cosβx + e<sup>αx</sup>Q<sub>k</sub>`(x)sinβx , де r – кратність кореня (α + іβ), k = max{m,l} , P_k`(x) iQ<sub>k</sub>`(x) – многочлени k-го степеня з невизначеними коефіцієнтами.

Зауваження:

1. Після підстановки Y_ЧН у (1) і (2) прирівнюють коефіцієнти многочленів, які стоять при відповідних тригонометричних функціях в лівій та правій частині.

2. Форма (3) зберігається і для випадку, якщо P_m(x) або Q_l(x) = 0.

3. Якщо права частина початкового рівняння є сумою обох розглянутих f(x), то для знаходження Y_ЧН використовується теорема про суму розв’язків.

4. Якщо права частина не має спеціального вигляду, треба використовувати метод Лагранжа.

15. Метод варіацій (Лагранжа) знаходження частинних розв’язків нлдр.

Y_ЧН НЛДР шукаємо у вигляді загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (Y_ЗО), вважаючи С₁ і С₂ деякими функціями від х, які підбираємо так, щоб і похідна частинного розв’язку по формі співпадала з похідною Y_ЗО.

Врешті приходимо до системи двох лінійних рівнянь відносно похідних С₁’(х) і С₂’(х).

С₁’(х)y₁ + С₂’(х)y₂ = 0

С₁’(х)y₁’ + С₂’(х)y₂ ’= f(x)

Звідки y₁, y₂ – ФСР відповідного ОЛДР.

16. Числова послідовність та числові ряди: основні поняття (частинна сума, сума, приклади, геометричний ряд).

Числовим рядом називається вираз а₁ + а₂ + … + а_n + … або _n, де а₁, … , а_n, … - члени ряду, _n – загальний член ряду.

Сума n перших членів ряду _kназивається n-ою частинною сумою числового ряду.

Отже, числовому ряду відповідає послідовність його частинних сум.

S₁ = a₁ S₂ = a₁ + a₂ S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

Сума ряду – скінченна границя послідовності {S_n} частинних сум ряду. S = _n. Якщо така границя існує і вона не нескінченна – то ряд збіжний, і навпаки.

Будь-якій числовій послідовності S₁, S₂, … , S_n відповідає числовий ряд, для якого ця послідовність є послідовністю частинних сум.

a₁ = S₁ a₂ = S₂ – S₁ a_n = S_n – S_n-1

Геометричний ряд - послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом.

n-ий член ряду: b_n= b₁q^n-1

n-та частинна сума ряду: S_n = ^k = a(1-bⁿ)/(1-b)

Сума ряду: S_n = a₀/(1-b)