Вопрос 38

Понятие статистической оценки. Свойства статистических оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.

Ответ:

Статистической оценкой или статистикой (*) характеристики (параметра) генеральной совокупности называют приближенное значение искомой характеристики (параметра), полученное по некоторой функции от наблюдаемых в выборке значений признака Х, т.е.:* = f(X₁,X_2,…,X_n), где n – объем выборки; (X_1,X_2,….X_n) – рассматриваются как независимые случайные величины. Функцию f называют способом оценивая.

Примером оценки генеральной средней является выборочная средняя, генеральной дисперсии – выборочная дисперсия. Однако совсем не обязательно в качестве статистической оценки характеристики (параметра) генеральной совокупности использовать выборочный статистический показатель. Возможны и другие способы оценивания.

От выборки к выборке статистическая оценка (даже при одном и том же способе оценивания) меняется (*_1,*_2,*_m) (рис.7).Получаемая оценка (*_j) представляет частный случай случайной переменной, так как сочетание значений признака Х в выборке случайно, а, следовательно, случайным будет и значение функции от них.

аким образом, значение статистической оценки зависит от:

• Вида характеристики (параметра) генеральной совокупности;

• Способа оценивания;

• Конкретной выборки (т.е. сочетания значения признака Х).

Для одного и того же параметра генеральной совокупности может быть предложено несколько способов оценивания. Таким образом , возникает проблема выбора лучшего способа оценивания. Критерием выбора является требование состоятельности, несмещенности и эффективности оценки, получаемой при данном способе оцениваничя.

Генеральная совокупность: ^r

О бъем генеральной совокупности: N 1

Объемы выборки: n₁ n₂ n_m

Номер выборки: 1 2 m

Способы оценивания:

1-й			…	
2-й			…	

Оценивание генеральной характеристики по данным выборки

Способ оценивания дает состоятельные оценки, если при бесконечно большом объеме выборки значение статистической оценки стремится к искомому значению параметра генеральной совокупности.

Способ оценивания дает несмещенные оценки, если математическое ожидание оценки, если математическое ожидание оценки при данном способе оценивания тождественно искомому параметру генеральной совокупности (при любом объеме выборки), т.е. Е(*)

Вопрос 40

Закон больших чисел – методологическая основа выборочного метода

Ответ:

Теоретической основой выборочного метода служит закон больших чисел, суть которого состоит в следующем: с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются (тем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).

Математически данный закон записывается через неравенство П.Л. Чебышева при n , где - выборочная среда;  - сколь угодно малая величина. Следует отметить, что данное неравенство справедливо для генеральной совокупности с ограниченной дисперсией.

Неравенство Чебышева доказывает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным простой случайной выборки. Однако оно не позволяет указать вероятность появления ошибок определенной величины. Это позволяет сделать центральная предельная теорема А.М. Ляпунова (доказанная в 1901 г.) которая гласит:

При достаточно большом числе независимых наблюдений вероятность того, что расхождение между выборочной и генеральной средней не превзойдет по модулю некоторую величину t-, равна интегралу Лапласа:

Данное утверждение справедливо для генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией.

t	1	2
Ф(t)	0.683	0.954

Из этой теоремы следует важный вывод: при достаточном большом числе независимых наблюдений ( объем выборки) распределение отклонений выборочных средних от генеральной средней, а следовательно, и самих выборочных средних приближенно нормально. Данное утверждение справедливо и для других видов статистических оценок. То есть можно утверждать, что для выборок большего объема статистические оценки распределены по нормальному закону.