Вопрос 35

Графические представления рядов распределения

Ответ:

Все множество графических представлений рядов распределения разделяют на 2 класса: линейные графики и диаграммы. К классу линейных графиков относятся: полигон, кумулята, кривая Лоренца.

Полигоном называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (Х_j;N_i)или (X;q_j), где Х_j – значение признака в j-й группе, N_j - частоты, q_j – частости. Полигон применяют для дискретного ряда распределения.

Кумулята – ломанная, составленная по накопленным частотам или частостям. Координатами точек ломаной являются для дискретного ряда (Х_j;F_j); для интервального ряда(X_j^B;F_j, где X_j^B- верхняя граница значения признака( максимальное значение) в j-й группе; F_j – накопленная часть. Начальная точка ломаной интервального ряда распределения имеет координаты(X₁^B;O), где X₁^{B –} нижняя граница значения признака в 1-й группе.

Кривой концентрации или кривой Лоренца называют кривую относительной концентрации суммарного значения признака. Она представляет собой ломаную, координатами точек которой являются оси абсцисс накопленные относительные частоты, а на оси ординат – накопленное (нарастающий итогом) значение признака Х. Чем ближе кривая Лоренца прямой линии, тем распределение признака более равномерное, т.е. концентрация больше.

К классу диаграмм прежде всего относят гистограмму ( столбиковую диаграмму). Гистограмма – ступенчатая фигура состоящая из прямоугольников, основания которых равны в личине интервала в j-й группе _j , а высота которых равна плотности в j-й группе (абсолютной - m^B_j либо относительной- mⁿ_j). Гистограмма относительных частот – аналог плотности распределения непрерывной случайной величины.

Вопрос 36

Понятие средней величины. Средняя арифметическая и ее свойства.

Ответ:

Средней величиной в статистике называется обобщающая количественная характеристика признака в статистической совокупности, отражающая типичный уровень этого признака в расчете на единицу совокупности.

В широком понимании средней величиной является всякий обобщающий показатель, характеризующий значение признака, связи признаков, их динамики и структуры в совокупности массовых явлений. Так, в широком смысле средними являются: доля мужчин в общем числе жителей страны (ведь эта доля разная в разных регионах), плотность населения, коэффициент смертности.

Существуют различные категории средних величин. Наиболее распространены степенные и структурные средние. К структурным средним относят квантили распределения и моду.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака суммарный объем этого признака по совокупности в целом сохраняется неизменным, т.е. средняя арифметическая есть среднее слагаемое.

Она применяется для усреднения абсолютных и относительных величин. Кроме того , средняя арифметическая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по сгруппированным данным или вариационным рядам. В этом случае применяется средняя арифметическая взвешенная :

Где Х _j – значение признака в j-й группе (j=1;m)

m-число групп

N_j –частота (численность) j-й группы;

Q_j – частость (доля) j-й группы

Если значение признака в группе задано интервалом, то в качестве варианта Х_j берется середина интервала (центральное значение):

При этом значении средней будет приближенным.

Средняя арифметическая взвешенная используется также при вычислении средней по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности. При этом групповые (частные) средние - Х_j принимаются как варианты, а численности групп – как веса усреднения:

Средняя арифметическая обладает рядом свойств.

Сущностные свойства средней арифметической:

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: А=А, при A-const.

2. Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

для первичного ряда и

где f_j – веса усреднения для сгруппированного ряда. Логически это значит, что все отклонения от средней в ту и другую сторону(положительные и отрицательные), обусловленные случайными причинами, взаимно погашается;

3. сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть величина минимальная:

или

где ( где  - сколь угодно малая величина), что означает: сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения А, сколь угодно мало отличающегося от . Такой же вывод получаем для сгруппированных данных.

Вычислительные свойства средней арифметической:

1. если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А;

2. если все значения признака разделить (умножить) на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится(увеличится) в А раз;

3. если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменяется.