- •Основные допущения и гипотезы сопротивления материалов
- •Расчетная схема. Классификация расчетных схем по геометрическому признаку
- •Внешние силы. Силы массовые и поверхностные. Сосредоточенные силы
- •Принципы сопротивления материалов: неизменяемости начальных размеров, независимости действия сил, Сен-Венана.
- •Механические характеристики материалов
- •Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силовые факторы
- •Метод сечений.
- •Внутренние силовые факторы.
- •Напряжения и деформации Напряжение.
- •Растяжение и сжатие. Удлинения и деформации при растяжении и сжатии
- •Коэффициенты запаса прочности и допускаемые напряжения
- •Закон Гука при растяжении и сжатии
- •Определение перемещений при растяжении (сжатии)
- •Закон парности касательных напряжений (из напряжений по косым площадкам)
- •Расчёты на прочность (проектировочный, проверочный, определение несущей способности)
- •Напряженное состояние при растяжении и сжатии (напряжения по косым площадкам)
- •Статически неопределимые системы, работающие на растяжение и сжатие
- •Свойства статически неопределимых систем.
- •Расчет статически неопределимых систем, работающих на растяжение и сжатие за пределами упругости
- •Особенности расчета за пределами упругости.
- •Предельное состояние системы, работающей на растяжение.
- •Чистый сдвиг. Закон Гука при чистом сдвиге. Связь между модулем упругости и модулем сдвига
- •Кручение стержней круглого поперечного сечения
- •Угловое перемещение при кручении и условие жёсткости при кручении (определение касательных напряжений при кручении)
- •Расчет полых валов
- •Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения
- •Моменты сопротивления плоских сечений (прямоугольное, круглое, составные сечения)
- •Кручение тонкостенных стержней открытого профиля
- •Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля
- •Статически неопределимые задачи кручения
- •Геометрические характеристики поперечных сечений. Статические моменты и моменты инерции и их свойства.
- •Статические моменты.
- •Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей
- •Моменты инерции простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг)
- •Преобразование моментов инерции при повороте осей
- •Главные оси и главные моменты инерции
- •Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе
- •Дифференциальные зависимости при изгибе
- •Напряжения при чистом изгибе
- •Расчеты на прочность при изгибе. Рациональные типы сечений при изгибе
- •Напряжения при поперечном изгибе. Формула Журавского
- •Косой изгиб
- •Напряжения при косом изгибе.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси
- •Интегрирование уравнения изогнутой оси по методу начальных параметров
- •Теорема о работе силы, приложенной к линейно упругой системе
- •Теорема Кастилиано
- •Метод Мора. Интеграл Мора
- •Вычисление интеграла Мора по методу Верещагина
- •Кинематический анализ плоских стержневых систем. Статически неопределимые рамы и балки
- •Метод сил. Уравнения метода сил.
- •Использование симметрии и косой симметрии при расчете рам и балок
- •Правило:
- •Расчет статически неопределимых балок
- •Проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
Главные оси и главные моменты инерции
Нас интересует вопрос: относительно каких осей моменты инерции принимают экстремальное значение. Из выражения (2) легко понять, что если относительно одной из осей момент принимает максимальное значение, то относительно другой момент будет минимальным.
Возьмем первое из выражений (1) и исследуем его на экстремум.
Если продифференцировать второе выражение, то получим
Следовательно, условием существования экстремума будет . Это будет иметь место при Откуда
Определение. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции.
Положение главных осей задается выражением (3). Если использовать это выражение для исключения из уравнений (1) функций угла 2, то получим формулу для определения главных моментов инерции.
34)
Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе
Если на стержень действуют силы перпендикулярные оси, то такое нагружение называется изгибом. Первоначально прямая ось искривляется. Мы будем рассматривать в этой лекции случай, когда силы лежат в одной плоскости. Изгиб называется чистым изгибом, если в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – изгибающий момент.
Е сли помимо изгибающих моментов возникают еще и поперечные силы, то изгиб называется поперечным.
Стержень. Работающий на изгиб называется балками.
35)
Дифференциальные зависимости при изгибе
Рассмотрим балку, загруженную произвольной распределенной нагрузкой. Двумя сечениями, отстоящими друг от друга на малую величину , выделим элементы. Внутренние силы, действующие в сечениях статически эквивалентны изгибающему моменту и поперечной силе. Мы рассматриваем и как функции z. При изменении независимой переменной на малую величину . и получат приращения, которые можно рассматривать как дифференциалы данных функций. Рассмотрим равновесие элемента.
Производная от поперечной силы по координате равняется по модулю интенсивности нагрузки, действующей на балку.
Пренебрегая малой второго порядка малости, получаем:
Производная от изгибающего момента по координате равняется поперечной силе.
36)_А
Напряжения при чистом изгибе
Допустим, что в данном случае в поперечных сечениях дейст-
вуют лишь нормальные напряжения. Это допущение оказывается абсолютно точным, что подтверждается решением данной задачи методами теории упругости.
Рассмотрим балку, загруженную таким образом, что возникает нагружение чистого изгиба.
Рассмотрим вначале статическую сторону задачи.
Из 6 уравнений 3 удовлетворяются тождественно при любых значениях
Остаются 3 уравнения:
1)
2)
3)
Напряжения, рассматриваемые как функция координат:
должны удовлетворять статическим уравнениям (1-3).
Однако статических уравнений недостаточно для того, чтобы получить решение для напряжений. Надо рассмотреть еще деформации и принять закон, связывающие деформации и напряжения.
Геометрическая сторона задачи.
Характер деформации балки можно было бы наблюдать на модели из сильно деформируемого материала, например резины.
Изгибая резиновый брус с сеткой нанесенной на боковой поверхности 36)_Б
мы бы увидели картину, похожую на ту, что показана на рисунке.
Мы видим, что поперечные сечения, оставаясь прямыми и нормальными к искривленным поперечным линиям, наклоняются друг к другу.
Этот факт был замечен еще в 1705 г. Я.Бернулли, многократно подтвержден экспериментами и сформулирован в форме гипотезы плоских сечений, положенный в основу технической теории изгиба:
Сечения плоские и нормальные к оси балки до изгиба остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси балки.
Пользуясь этой гипотезой, мы установим закон изменения удлинений волокон по высоте балки (под волокном понимаем мыслимый геометрический объект, а отнюдь не настаиваем на волокнистом строении материала.
Рассмотрим малый элемент. Очевидно, что верхние и нижние
волокна будут иметь разные по знаку деформации (в случае, показан-
ном на рисунке верхние волокна будут сжиматься, а нижние растяги-
ваться), и т.к. деформация по своей сути – величина непрерывная, то
безусловно, где-то будет находиться слой не испытывающий деформации – нейтральный слой.
Пусть - радиус кривизны нейтрального слоя, а - координата, отсчитываемая от нейтрального слоя.
Удлинение произвольного волокна равняется:
В нашем случае а
(Напомним, что кривизна положительна, когда положительна координата кривизны). Чтобы привести знаки в соответствие с физическим смыслом запишем аналитическая запись гипотезы плоских сечений.
Физическая сторона задачи.
36)_В
Мы уже не раз говорили о том, что между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена экспериментальным путем. Примем эту связь простейшей, т.е. будем считать, что материал линейно упруг, т.е. следует закону Гука.
Допустим, что волокна не давят друг на друга, а это для случая чистого изгиба совершенно точный факт, подтвержденный точным решением методами теории упругости, то тогда оказывается, что каждое волокно работает либо на растяжение, либо на сжатие, и в этой ситуации можно применить закон Гука:
Вернемся к статическим уравнениям (1-3) и подставим в них
выражение (5). Мы получим 3 уравнения, содержащие одну неизвестную величину .
Эта система будет совместна только при некоторых условиях.
Подставим в (1): , т.к. (балка дефор-
мировалась и кривизна отлична от нуля), то , т.е. если по-
местить начало координат в центр тяжести сечения, то первое условие совместности будет удовлетворительно. Вспомним, что координата отсчитывалась от нейтрального слоя. Отсюда вывод: при изгибе нейтральный слой проходит через центр тяжести. Подставим в (2):
т.е. оси, в которых рассматривается изгиб, должны быть главными.
Итак! Приняв оси и за главные, центральные оси мы удовлетворяем уравнениям (1) и (2).
Осталось уравнение (3)
- основная зависимость при изгибе.
37)