- •Властивості віддалі. Означення метричного простору і найкращого наближення елемента множини метричного простору.
- •Приклади метричного простору, елементами яких є довільні об’єкти.
- •Лінійні простори. Приклади
- •Лінійні нормовані простори. Приклади. Властивості норми.
- •3. Неперервність норми.
- •4. Властивість рівномірної неперервності функціонала норми.
- •Евклідові простори.
- •Означення і приклади евклідових просторів.
- •Опуклі множини
- •Критерії опуклості множини:
- •Опуклі функціонали
- •Достатні умови опуклості функції від однієї змінної.
- •Теорема 1 (достатня умова строгої опуклості функції від однієї змінної в точці).
- •Критерії знаковизначеності матриць
- •Теорема 1 (критерії Сильвестра знаковизначеності і невизначеності матриць)
- •Достатні умови опуклості функції від багатьох змінних
- •Теорема 1 (достатня умова строгої опуклості функції від n-змінних)
- •1. Методом перерізів встановимо вид поверхні Якщо:
- •Нескінченна диференційовність добутку функцій і складної функції
- •Нерівність між середніми
Опуклі множини
О1. Відкритим, замкненим відрізком з кінцями в елементах x,y лінійного простору називаються відповідно множини елементів цього простору .
О2. Відкритою, замкненою кулею в лінійному нормованому просторі з центром в точці x0 і радіусом r називається множина всіх елементів цього простору, віддаль від яких до елемента x0 відповідно , і позначають ,
.
Сферою в лінійному нормованому просторі з центром в точці x0 радіуса r називається множина всіх елементів цього простору, віддаль яких до елемента x0 дорівнює r
.
О3. Множину лінійного простору називають опуклою, якщо вона містить довільний замкнутий відрізок, кінці якого належать цій множині, тобто:
Приклад.
1. .
Використовуючи означення опуклої множини, означення замкнутого відрізка і критерій підпростору , маємо:
2. Будь-який відрізок лінійного простору – опукла множина в цьому просторі
а)
б)
3. Зсув довільної опуклої множини на довільний елемент x0 є опукла множина
.
Використовуючи означення множини , означення відрізка і означення опуклої множини, маємо:
4.Довести, що довільна куля є опуклою множиною, тобто: - опукла.
Теорема Перетин довільної кількості опуклих множин є опукла множина.
О4. Замкненою, відкритою опуклою оболонкою n-елементів лінійного простору називають множину всіх відповідно лінійних комбінацій цих елементів з невід’ємними додатніми коефіцієнтами, сума коефіцієнтів яких дорівнює 1 і позначають
, .
Приклад:
n=2, то використовуючи означення 4 і означення відрізка, одержимо
Критерії опуклості множини:
З означення опуклості множини в ЛНП випливає, що опуклими множинами на прямій є проміжки
Критерії опуклості множини
Непорожня множина лінійного простору опукла тоді і тільки тоді, коли довільна замкнута лінійна оболонка n-елементів цієї множини міститься в цій множині. Порожню множину також вважають опуклою.
Доведення:
Якщо , то використовуючи означення замкнутого відрізка і означення опуклої множини, одержимо:
Необхідність доведемо методом математичної індукції.
Припустимо, що твердження істинне при n=2, тобто
.
Припустимо, що твердження істинне при , тобто
.
Використовуючи припущення 2 і 1, доведемо, що твердження вірне при .
.
Використовуючи означення включення, достатньо довести
.
З означення опуклої оболонки випливає, що
.
Не обмежуючи загальності будемо вважати, що , тобто Тоді
З (4) за означенням опуклої оболонки випливає
З (4) згідно з твердженням 1 випливає, що: . Отже, за принципом математичної індукції твердження істине при довільному . Критерій доведено.
Наслідок (про мінімальність опуклої оболонки).
Опукла оболонка будь-яких n-елементів, містяться в усіх опуклих множинах, які містять ці елементи.
Використовуючи необхідність в критерії опуклості множини, означення операції перетину, одержимо:
Опуклі функціонали
О1. Функціонал називається строго опуклим донизу (догори) на опуклій множині, якщо значення цього функціонала в довільній точці відкритого відрізка, кінці якого належать множині, строго менше (більше) ніж значення відповідної ординати відрізка, що проходить через точки і в нерівності має знак рівності тоді і тільки тоді коли кінець і початок відрізка співпадають
О2 Функціонал називається не строго опуклим на опуклій множині, якщо значення цього функціонала в довільній точці замкнутого відрізка, кінці якого належать множині, менше рівне ніж значення довільної ординати відрізка, що проходить через точки
Приклад 1.
Приклад 2.
Теорема 1 (критерії Ієнсена строгої опуклості функціонала).
Функціонал строго опуклий донизу на опуклій множині, тоді і тільки тоді коли значення цього функціонала в довільній точці довільної відкритої опуклої оболонки довільних n-елементів цієї множини, , строго менше ніж відповідна опукла оболонка образів цих елементів і в нерівності має місце знак рівності тоді і тільки тоді коли всі елементи рівні між собою, тобто:
Достатність
Якщо , то використовуючи (II) матимемо:
Необхідність доведемо методом математичної індукції.
Перевіримо, чи твердження істинне при n=2.
Припустимо, що твердження вірне при .
Доведемо, використовуючи 2 і 1, що твердження вірне при .
Використовуючи критерій опуклості множини, твердження (2) і (1), одержимо:
Отже, за принципом математичної індукції твердження істине при довільному натуральному .
О1. Звуженням значень функціонала f на довільний відрізок з кінцями в точках x і y називають функцію
Теорема 2 (критерії опуклості функціонала)
Функціонал строго опуклий на опуклій множині тоді і тільки тоді, коли звуження цього функціонала на довільний відрізок з кінцями, що належать цій множині є функцією відповідно строго опуклою донизу (догори) не строго опуклою донизу (догори) на сегменті [0;1], тобто
Необхідність (І ІІ).
Використовуючи (1) і О.1, одержимо:
Достатність (ІІ І).
Використовуючи (ІІ), (1) і О.1, одержимо: