4. Властивість рівномірної неперервності функціонала норми.

Функціонал норми рівномірний неперервний на всьому лінійному нормованому просторі, тобто:

Доведення:

Використовуючи нерівність 2 і означення рівномірного неперервного функціонала, одержимо:

О₆. Функціонал називається неперервним в точці x₀ лінійного нормованого простору, якщо знайдеться таке, що для елемента х з простору, віддаль якого до х₀ менша випливає, що віддаль між образами елементів х і х₀ менша , тобто:

.

Кожен рівномірно неперервний функціонал є неперервним.

Наслідок.

Функціонал норми неперервний на всьому лінійному нормованому просторі, тобто: .

Доведення:

Якщо і , то з означення 5 випливає означення 6 і наслідок доведено.

Евклідові простори.

Означення і приклади евклідових просторів.

О1. Евклідовим простором називається лінійний простір над полем С або R, для елементів якого введено поняття скалярного множення.

Скалярним множенням в лінійному просторі називається відображення , яке кожну впорядковану пару елементів відображає в єдине дійсне або комплексне число, яке називається скалярним добутком цих елементів і позначається при цьому виконуються такі аксіоми:

1. .

2. .

3. .

Приклад.

1.

2.

Перевіримо виконання аксіоми 1 скалярного добутку.

використовуючи означення евклідового простору і означення скалярного добутку, і властивості комплексних спряжених чисел, одержимо:

Перевіримо виконання аксіоми 3 скалярного добутку. Використовуючи означення нульової послідовності, маємо:

3.

1)

2)

Використовуючи означення скалярного множення, означення рівності елементів в просторі і властивості інтеграла Лебега зв’язані з нерівностями

3) .

Властивості скалярного добутку:

Означення норми в евклідовому просторі. Нерівність Шварца

Властивості:

1.

2. Скалярний добуток довільного елемента на нульовий елемент дорівнює 0, тобто:

3. Нерівність Шварца:

Модуль скалярного добутку будь-яких двох елементів евклідового простору не перевищує добутку норм цих елементів і в нерівності має місце знак рівності т і т.д. коли ці елементи лінійно залежні, тобто:

Використовуючи аксіоми скалярного добутку і властивість 1 маємо:

(1)

а) .

б) .

Покладемо і підставимо в (1). Тоді

В нерівності Шварта має місце знак рівності тоді і тільки тоді, коли має місце знак рівності в нерівності (2).

Нерівність доведена.

О2. Нормою довільного елемента евклідового простору називається корінь квадратний з скалярного добутку цього елемента на себе, тобто:

О3. Променем в лінійному просторі породжений ненульовим елементом x називають множину всіх елементів цього простору, пропорційних елементу x з невід’ємним коефіцієнтом пропорційності і позначають

4. Норма суми двох довільних елементів евклідового простору не перевищує сумі норм цих елементів і в нерівності має місце знак рівності тоді і тільки тоді коли елементи належать одному й тому ж променю, тобто:

Доведення:

Використовуючи означення норми, аксіоми скалярного добутку і властивості спряжених комплексних чисел і нерівність Шварца, одержимо:

В нерівності (1) має місце знак рівності, коли має місце знак рівності в нерівності Шварца і реальна частина комплексного числа дорівнює модулю цього комплексного числа, тобто

З означення скалярного добутку і останньої нерівності випливає, що для виконуються аксіоми норми. Тому евклідів простір є нормованим.