- •1. Множества и операции над ними.
- •2. Отображения
- •3.Топологические структуры. Классификация точек множества.
- •5.Модуль и его свойства.
- •Модуль и основные неравенства.
- •1. Предел числовой последовательности.
- •2.Основные теоремы о пределах
- •3. Бмв. Теоремы о бмв
- •4. Свойства пределов выражаемые равенствами.
- •5. Свойства пределов выражаемые неравенствами
- •6.Принцип вложения отрезков. Теорема о «2х милиционерах»
- •7. Определение предела функции
- •8. Односторонние пределы функции
- •§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное
- •9. Замечательные пределы
- •10. Классификация бмв. Эквиваленты.
- •11. Непрерывность функции. Теорема о приращении непрерывной функции.
- •12.Свойства непрерывных функций.
- •13. Непрерывность суперпозиции функции.
- •14. Теоремы Больцмана-Коши
- •15. Теорема Вейерштрасса
- •16. Классификация разрывов.
- •1. Производная, ее механический и геометрический смысл.
- •2. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •3. Правила дифференцирования.
- •4. Производная сложной функции.
- •5. Производная обратной функции.
- •6. Производная элементарных функций.
- •7. Дифференциал функции. Свойства и геометрический смысл.
- •8.Инвариантность(неизменность) формы первого дифференциала.
- •9. Производные функции, заданных параметрически и неявно.
- •10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа.
- •12. Признаки возрастания и убывания функции.
- •13. Экстремум функции. Достаточные условия.
- •14. Выпуклость функции, точки перегиба. Достаточные условия.
- •15. Асимптоты, их нахождение.
- •16. Теоремы Лопиталя.
- •17. Формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа и Пеано.
11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа.
Т Ферма: (необходимый признак экстремума)
экстремум – максимум и минимум функции.
T: Если функция в точке х0 имеет экстремум и дифф. в этой точке, то ее производная равна нулю.
y=f(x) х0 – экстремум max
берем производную в точке х0
f |(x)=limΔx→0(Δf/Δx)
если Δx>0 тогда Δf/Δx≤0
если Δx<0 тогда Δf/Δx≥0
=> f |(х0)=0
Т Ролля:
Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его и принимает на его концах равные значения, то сущ. точка с внутри отрезка такая, что в этой точке f |(x)=0
f |(c)=0
f(x) m M
По Т. Вейерштрасса (могут приниматься I либо на концах II либо внутри промежутка)
I f(a)=f(b)
m=M=>f(x)=const сущ. точка с, что произв. равна 0
II M=f(х0), х0€(a,b)
По Т.Ферма в этой точке производная равно 0.
Т. Коши:
Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и производная g|(x) не 0. Тогда справедлива формула:
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g|(c) c€(a,b) – некоторая точка опр. внутри отрезка
Док-во:
h(x)=f(x)+λg(x) λ-какое-то число
λ – мы выберем такое, чтобы h принимало равные значения на концах отрезка.
h(a)=h(b)
f(a)+λg(a)=f(b)+λg(b)
λ= (f(a)-g(b))/(g(b)-g(a))
h(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(b)
По Т. Ролля сущ. точка с, где h|(c)=0
h|(x)= f |(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g|(b) 0= f |(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g|(b) => (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g|(c)
Т. Лагранжа:
если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифф. внутри него, то внутри отрезка найдется такая точка с, обладающая cв-вом f(b)-f(a)=f |(c)(b-a) – формула Лагранжа(т. о конечном приращении)
Док-во:
f(с)/g(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
y => (f(b)-f(a))/(b-a)=f |(a) =>
f(b)-f(a)=f |(c)(b-a)
12. Признаки возрастания и убывания функции.
Монотонные функции – возрастающие и убывающие функции.
f(x) на промежутке <a,b> называется возрастающей если большему значению ф-ции следует меньшее значение аргумента.
x|<x|| => f(x|)≤f(x||)
T: если ф-ция непрерывна и дифф. на промежутке, то для возрастания ф-ции необходимо и достаточно неотрицательность первой производной.
Необходимость: если f(x) возрастает
x Δx>0
f(x+ Δx)-f(x)=Δf ≥0
Δf/Δx≥0
limx→Δx(Δf/Δx)≥0
если функция возрастает, то ее производная не отрицательна.
Покажем что f(x) будет возрастать:
f |(x)≥0 -> f(x) – возр.
x|<x||
f(x||)-f(x|)=f |(c)(x||-x|)≥0; (x||-x|)>0 большему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции.
x|<c<x||
Если функция дифф на промежутке, то для убывания ф-ции необходимо и достаточно чтобы ее производная была неположительна.
13. Экстремум функции. Достаточные условия.
экстремум – максимум и минимум функции.
1ая производная
f(x) x0
дифф в точке
тогда в x0 будет экстремум, если при прохождении x0 1ая производная меняет знак: если «-» → «+» - минимум;
если «+» → «-» - максимум.
2ая производная:
Пусть функция определена в x0 и 2жды дифф в этой точке (x0 – стационарная точка функции f |(x)≠0), тогда если в точке 2ая производная больше нуля, то в точке x0 имеется экстремум(минимум); f ||(x)<0 – то максимум