- •1. Множества и операции над ними.
- •2. Отображения
- •3.Топологические структуры. Классификация точек множества.
- •5.Модуль и его свойства.
- •Модуль и основные неравенства.
- •1. Предел числовой последовательности.
- •2.Основные теоремы о пределах
- •3. Бмв. Теоремы о бмв
- •4. Свойства пределов выражаемые равенствами.
- •5. Свойства пределов выражаемые неравенствами
- •6.Принцип вложения отрезков. Теорема о «2х милиционерах»
- •7. Определение предела функции
- •8. Односторонние пределы функции
- •§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное
- •9. Замечательные пределы
- •10. Классификация бмв. Эквиваленты.
- •11. Непрерывность функции. Теорема о приращении непрерывной функции.
- •12.Свойства непрерывных функций.
- •13. Непрерывность суперпозиции функции.
- •14. Теоремы Больцмана-Коши
- •15. Теорема Вейерштрасса
- •16. Классификация разрывов.
- •1. Производная, ее механический и геометрический смысл.
- •2. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •3. Правила дифференцирования.
- •4. Производная сложной функции.
- •5. Производная обратной функции.
- •6. Производная элементарных функций.
- •7. Дифференциал функции. Свойства и геометрический смысл.
- •8.Инвариантность(неизменность) формы первого дифференциала.
- •9. Производные функции, заданных параметрически и неявно.
- •10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа.
- •12. Признаки возрастания и убывания функции.
- •13. Экстремум функции. Достаточные условия.
- •14. Выпуклость функции, точки перегиба. Достаточные условия.
- •15. Асимптоты, их нахождение.
- •16. Теоремы Лопиталя.
- •17. Формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа и Пеано.
1. Множества и операции над ними.
Множество – совокупность объектов выделяемых нами по каким-то признакам. (X)
Элемент множества – объекты составляющие множество. (x)
x X
Отношение включения: Множество А содержится в множестве В, если каждый эл-т множества А является и элементом множества В. А В
Два множества называются равными (А=В), если выполняются 2 включения: А В, В А
Подмножество множества А – любое множество содержащееся в А. А А
В называется собственным подмножество А, если В содержится в А. Если В≠А, В – несобственное подмножество А.
Операции над множествами:
- Объединение множеств – такое множество, которое состоит из всех элементов, по крайней мере принадлежащих одному из множеств А и В. А В
- Пересечение множеств – множество состоящее из элементов, принадлежащих и множ. А и множ. В. А В
- Пустое множество – если множество не содержит ни одного элемента.
- Непересекающиеся множества – если их пересечение пустое множество.
- Разность 2х множеств – множеств состоящее из эл-тов А, но не приналежащее множеству В. А\В
- Дополнением к множеству А называется множество состоящее из элементов, не принадлежащих можеству А. СА
- Произведением множеств Х и Y называется множество из упорядоченных пар (x,y), где х€Х, у€ Y.
X Y, X Y≠ Y X
Свойства:
1) ССА=А
2) А В= В А
А В= В А
3) А (В C)= (А В) C
А (В C)= (А В) C
4) А (В C)= (А В) (А C)
А (В C)= (А В) (А C)
Множества:
N – множество натуральных чисел N={1, 2, 3…}
Z – множество целых чисел {0, +-1,+-2…}
R – множество действительных(вещественных) чисел
N Z R
2. Отображения
Если между X и Y соответствие и элемент x сопоставляется y(x€X–>y€Y), то говорят, что задана ф-ция f, зависимости Х и Y(f:X–>Y или y=f(x))
f:X–>Y
- сюръективное, если Yf=Y (f: отображ. множество Х на все множество Y)
- инъективное, если x1≠x2 => f(x1)≠f(x2) (разные элементы множества Х не могут одновременно сопоставляться с одним и тем же элементом Y)
- биективное, если оно одновременно является сюръективным и инъективным.
f:X–>Y; А X тогда образом А при отображении f, называется множество В Y такое, что для любого элемента b€И существует a€A такой, что f(a)=b. f(A) – образ множества А
f:X–>Y; В Y тогда прообразом В при отображении f, называется множество А Х такое, что любой элемент а€А имеет значение b=f(a)€B
f-1(B) – прообраз множества В
Обратное отображение:
Пусть дано биективное отображение
f:X->Y. Тогда по определению биекции для каждого y€Y существует в точности один x€X, такой что f(x) = y. Таким образом построена функция y€Y->x€X. Эта функция называется обратной к F и обозначается F −1
3.Топологические структуры. Классификация точек множества.
Даны множества Х и Т. Топологическая структура множества X, если для его эл-тов выполняется 2 аксиомы: 1)объединение любого числа эл-тов из Т. 2)конечное пересечение эл-тов из Т также принадлежит Т.
множество входящее в семейство Т – открытое множество.
Тривиальная топология: T={ ,X}
Дискретная топология: Т – множество всех подмножеств множества Х.
А называется замкнутым в Х, если его дополнение X\A из аксиом.
Любое конечное пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Любое конечное объединение замкнутых множеств явл. замк. множ.
Классификация точек множества.
Предельная точка Х – точка x, кот обладает cв-вом: любая окрестность точки х содержит точки множ-ва Х отличные от х.
Изолированная точка Х – точка, у которой есть окрестность, кот. не содержит точки множ-ва Х за исключ. самой точки х.
Внешняя точка Х – точка, кот не € множ-ву Х и имеется окрестность этой точки не перечек. с Х.
clX=C(intX): cl – замыкание, int – внутренность.