14. Выпуклость функции, точки перегиба. Достаточные условия.

Функция f(x) называется выпуклой вниз, если любая хорда стягивающая график ф-ции лежит выше, чем стягиваемый участок.

Функция f(x) называется выпуклой вверх, если любая хорда стягивающая график ф-ции лежит ниже, чем стягиваемый участок.

Точка перегиба – точка, в которой меняется направление выпуклости

Т: если 2ая производная функции f(x) на отрезке <a,b> больше нуля, то функция выпукла вниз.

если 2ая производная функции f(x) на отрезке <a,b> меньше нуля, то функция выпукла вверх.

если при прохождении точки 2ая производная меняет знак, эта точка – точка перегиба.

15. Асимптоты, их нахождение.

Асимптота – прямая линия, если расстояние между точками графика и этой прямой стремится к 0, при удалении точек графика к ∞

Асимптота:

1) наклонная; вид – x=число

2) вертикальная; вид – y=kx+и

могут находится в точках бесконечного разрыва

Наклонные:

если сущ. 1)lim_x→+∞(f(x))/x=k

2) lim_x→+∞(f(x)-f(x))=b, то прямая линия kx+b будет асимптотой. НЕ БОЛЬШЕ 2х АСИМПТОТ!

16. Теоремы Лопиталя.

1) Пусть даны f(x) и g(x) в окрест. точки x₀, кот обладает след. cв-вами:

1. lim_x→x0f(x)= lim_x→x0g(x)=0

2. f(x) и g(x) дифф функции в этой окрестности, причем g^|(x)≠0

Тогда если сущ. lim_x→Δxf^|(x)/g^|(x)=k, то этот предел lim_x→x0f(x)/g(x)= lim_x→x0f^|(x)/g^|(x) (т.е. предел отношений) функции можно заменять пределом отношения их производных, при условии что производная сущ.

Док-во:

f(x)-f(х₀)/g(x)-g(х₀)=f ^|(c)/g^|(c)

если x→х₀, c→х₀, тогда если lim_x→x0f^|(x)/g^|(x)=k, тогда lim_x→x0f(x)/g(x)=k

2) Пусть

1. f(x)→+∞, при x→х₀, п(x)→+∞, x→х₀

2. f(x) и g(x) -> дифф., g^|(x)≠0

тогда, если сущ.

lim_x→x0f(x)/g(x)=k, то lim_x→x0f^|(x)/g^|(x)=k

17. Формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа и Пеано.

представление многочлена в форме Тейлора:

P_n(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ=c₀+c₁(x-x ^–)+c₂(x-x ^–)² +…+c_n(x-x ^–)ⁿ

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)(x-x₀)/1!+ f ^||(x)(x-x₀)²/2! +…+ f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+ f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!

формула Тейлора с останочным членом в форме Лагранжа

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)/1!+…+

f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+O(x+x₀)ⁿ

формула Тейлора с останочным членом в форме Пеано

Т еорема №1: Если функция f имеет в окрестности точки x₀ непрерывную производную fⁿ⁺¹(х), то для любо­го х из этой окрестности найдется точка с(х₀,х) такая, что f(x) можно записать по формуле

З десь с зависит от х и n. Если точка х₀=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши

где (0<<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что произ­водная f^(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замк­нутом отрезке [x₀–,x₀+]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

| f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|M_n (x₀–xx₀+) {2}. Здесь M_n –положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, завися­щее от n. Тогда

Н еравенство {3} можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение r_n(х) при фиксиро­ванном n в окрестности точки и для того, чтобы иссле­довать поведение r_n(х) при n. Из {3}, например, следует, что при фиксированном n имеет место свойство r_n(x)=o((x–x₀)ⁿ), xx₀ {4}, показывающее, что если r_n(х) разделить на (х–x₀)ⁿ, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при xx₀. В силу (13) из (8') следует:

Эта формула наз. формулой Тейлора с оста­точным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x₀.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим любую функцию f(x), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (n+1)-го в некоторой окрестности точки x₀. Мы можем формально составить многочлен

к оторый наз. многочленом Тейлора n-й степени или n-м многочленом Тейлора функции f по степеням х–x₀. Многочлен Q_n(x) совпадает с функцией f(х) в точке x₀ но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не является многочленом степени n). Кроме того, Q'_n(x₀)=f'(x₀),...,Q⁽ⁿ⁾_n(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀) {2}. Положим f(x)=Q_n(x)+r_n(x) {3}. Формула {3} носит название формулы Тейлора для функ­ции f(x); r_n(х) наз. остаточным членом формулы Тейлора, – подробнее, n-м остаточным членом формулы Тейлора функции f пo степеням х–x₀. Функция r_n(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора {1}.

Н айдем выражение для r_n(х) через производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(х). В силу {2} и {3} r_n(x₀)=r'_n(x₀)=...=r⁽ⁿ⁾_n(x₀)=0. Положим (х)=(х–x₀)ⁿ⁺¹. Ясно, что (x₀)=(x₀)=...=⁽ⁿ⁾(x₀)=0. Применяя теорему Коши к функциям r_n(х) и (x), будем иметь

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточ­ным членом в форме Лагранжа.

18. Разложение функций по формуле Тейлора(sinx, cosx, expx, ln(1+x), arctgx, (1+x)^a)

- y=sinx

x₀=0

y^|=cosx y^|(0)=1

y^||=-sinx y^||(0)=0

y^|||=-cosx y^|||(0)=-1

y^|V=sinx y^|V(0)=0

sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+

(-1)x^2n-1/(2n-1)!+O(x^2n-1)

- y=cosx

cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)^mx^2m/(2m)!+r_2m+1

- y=ln(1+x)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)^n-1xⁿ/n+r_n(x)

- y=arctgx

arctgx=x-x³/3+x⁵/5-…+

(-1)^m-1x^2m-1/(2m-1)+r_2m(x)

- y=e^x

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+O(xⁿ)

- y=(1+x)^a

(1+x)^a=1+ax+a(a-1)x²/1*2+…+

a(a-1)…(a-n+1)xⁿ/1*2*…*n+r_n(x)

1)y=e^x, x₀=0

y (0)=1

y’(0)=e^x|_x=0=1

y’’(0)=e^x|_x=0=1

y⁽ⁿ⁾(0)=e^x|_x=0=1

n=1 e^x=1+x+o(x),xx₀

2) y=sinx, x₀=0

y (0)=0

y’(0)=cos|_x=0=1

y’’(0)=-sinx|_x=0=0

y’’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|_x=0=0

если n – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k

3) y=cosx, x₀=0

y (0)=1

y’(0)=-sinx|_x=0=0 ^*

y’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’(0)=sinx|_x=0=0

y’’’’(0)=cosx|_x=0=1

если n=2k – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=0

4) y=ln(1+x), x₀=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|_x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)²_x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)³_x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)⁴_x=0=(-1)(-2)(-3)

y⁽ⁿ⁾=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)ⁿ_x=0=(-1)^n-1123…(n-1)=(-1)^n-1(n-1)!

5) y=(1+x)^p, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)^p-1|_x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)^p-2_x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)^p-3_x=0=p(p-1)(p-2)

y⁽ⁿ⁾=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)^p-n_x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0 np+1

(либо n<p, если p-натуральное)

* o’1 x²ⁿ⁺²=xx²ⁿ⁺¹=o(x²ⁿ⁺¹⁾