11. Непрерывность функции. Теорема о приращении непрерывной функции.
1.Функция f(x), определенная в окрестностях некоторой точки xn, называется непрерывной в точке x0, если предел функции и ее значение в этой точке равны limx→x0f(x)=f(x0)
2. Если функция f(x) определена в окрестностях точки x0, но не явл. непрерывной в точке x0, то ф-ция называется разрывной, а точка – точкой разрыва.
3. Функция f(x) назыв. непрерывной в точке x0, если для любого числа ξ>0, существует такое число Δ>0, что при усл. |x-x0|<Δ выполняется нер-во: |fx-fx0|<ξ
4. Функция f(x) назыв. непрерывной в точке х=x0, если приращение в точке х0 явл. БМВ f(x)=f(x0)+α(x), α(x) - БМВ при х→x0
5. Ф-ция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке ООФ. Приращение в точке x0, назыв. разница f(x)-f(x0)
Δf=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
Δx – приращ. аргумента, Δf – приращение функции
переменная отличается от предела на БМВ f(x)→f(x0)
f(x)= f(x0)+Δf -> для того, чтобы ф. f(x) была непрерывна в точке х0, необходимо и достаточно чтобы к БМ приращ. аргумента Δx соотв. БМ приращ. функции Δf
12.Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, разность и произведение непрерывных в точке x0 функций – есть функция непрерывная в точке x0.
Замечание: Справедливо как для функций непрерывных в данной точке, так и для функций непрерывных в целом.
f(x) и g(x) (непрерывна в точке x0)
h(x)=f(x)g(x)
limx→x0h(x)= limx→x0f(x)g(x)= limx→x0f(x) limx→x0g(x)=f(x0)g(x0)=h(x)
Непрерывность – свойство нетеряемое в процессе арифметических операций.
2. Частное двух непрерывных функций f(x)/g(x) есть непрерывная функция при условии, что g(x)→не ровно 0, в точке x0
3. Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
4. Если y=f(x) непрерывная в x0, тогда f(x0)=y0, тогда x=g(y) будет непрерывна в точке y0
5. Все элементы функции непрерывны в своей области. Непрерывность некоторых элементарных функций:
1. f(x)=C C=const, непрерывная функция на всей ООФ
2. рациональная функция:
f(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xn+b1xn-1+…+bn) – непрерывна для всех х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль.
таким обр. функция этого вида непрерывна на все оболасти определиния.
3. Тригонометрическая ф-ция непрерывна на своей ООФ
4. f(x)=x – непрерывна limx→x0f(x)=f(x0), limx→x0x=x0
5. xn=x*x…xn (n-раз) xn-непрерывна.
Св-ва:
1) Любой многочлен явл. непрерывной функцией Pn=anxn+an+1xn-1+…+an
2) Любая дробно-рациональная функция явл. рациональной в области задания. Pn(x)/Qn(x)
Теорема: Любая функция, полученная из элементарных путем конечного применения арифметических операций, или операций суперпозиции функции (обратной) является непрерывной в обл. задания.
13. Непрерывность суперпозиции функции.
Т: Пусть функция φ(y) определима в промежутке y, а ф-ция f(x) – в промежутке x, причем значение последовательности функции не выходит за пределы Y, когда x изменяется в Х.
Если f(x) непрерывна в точке x0 и x, а φ(y) непрерывна в соотв. точках y0=f(x) и y, то и сложная функция φ(f(x)) будет непрерывна в точке x0.
Док-во:
ξ>0, так как φ(y) непрерывна при y=y0, то по ξ найдется такое Δ>0, что из |x-x0|<Δ следует |φ(y)-φ(y0)|<ξ
С другой стороны ввиду непрерывности f(x) при x=x0 по Δ найдется такое Δ>0, что из |x-x0|<Δ след. |f(x)-f(x0)|=|f(x)-y0|<Δ => |φ(f(x))-φ(y0)|=|φ(f(x))-φ(f(x0))|≤Δ след. φ(f(x)) непрерывная в точке x0.