6. Производная элементарных функций.

№ п/п	Функция	Производная	№ п/п	Функция	Производная
1.	C – const		11.
2.			12.
3.			13.
4.			14.
5.			15.
6.			16.
7.			17.
8.			18.
9.			19.
10

7. Дифференциал функции. Свойства и геометрический смысл.

Δf=AΔx+БМВ; AΔx=дифф. функции в данной точке.

Дифф. функции у – это приращение ординаты касательной, проведенной к графике в точке x₀.

Cв-ва:

1) y=x, согл. опр.

dy=x^|Δx=Δx

dx=Δx дифф. независ. аргумента – приращение этого аргумента.

df=f^|dx

8.Инвариантность(неизменность) формы первого дифференциала.

z=z(y) y=y(x)

dz=z^|_ydy (3)

dz=z^|_xdx=z^|_yy^|_xdy=z^|_ydy

Св-ва:

dC=0

dCf=Сва

d(f±g)=df±dg

d(fg)=gdf+fdg

d(f/g)= gdf-fdg/g²; d(fg)=(fg)^|dx=(f^|g+fg^|)dx=

f^|dxg/df+ fg^|dx/dg=df+dg

Первый дифференциал функции Z выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли Z рассматриваться как функция от независимой переменной x или от зависимой переменной Y.

Форма первого дифференциала (3) сохраняется , поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инвариантную форму или еще имеет инвариантное свойство.

9. Производные функции, заданных параметрически и неявно.

Парамеричемки:

y^|_x=dy/dx=y^|_tdt/x^|_tdt=y^|_t/x^|_t

y^|_x=y^|_t/x^|_t

пример:

y^|_x-? y^||_x-?

y^|_x=(t²)^|/(cost)^|=-2t/sint

y^||_x^2=(y^|_x)^|

y^||_x^2=(-2t/sint)^|/(cost)^|==(2sint-2tcost)/(sin³t)

Неявно:

F(x,y)=0

y=y(x)

пример: xcosy+y=0 y^|_x-?

y=y(x)

cosy+x(-siny)y^|+y^|=0

y^|=-cosy/1-xsiny

10. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная n-ого порядка – производная от производной (n-1)-ого порядка.

f ^||(x) – II порядок

f ^|||(x) – II порядок

f ^|V(x) – II порядок

f^V(x) – II порядок

f⁽ⁿ⁾(x)

f⁽ⁿ⁾(x)= (f^(n-1)(x))^|

пример:

y=arctgx

y^|=1/1+x²

y^||=(1/1+x²)^|=-2x/(1+x²)²

Дифференциал n-ого порядка – дифференциал от (n-1)-ого порядка.

dⁿf(x) – обозначение

dⁿf(x)=d(d^(n-1)f(x))

Пусть имеется f(x), x – независимый аргумент.

dⁿf=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ