Глава 3. Предел функции. Непрерывность

3.1. Основные понятия, относящиеся к функции

Основные понятия, связанные с функциями. Элементарные функции.

3.1.1. Определение функции. Монотонность. Обратная функция. Суперпозиция

Понятие функции является частным случаем общего понятия отображения.

множества вещественных чисел. Функция определяется, как отображение из X в . X называется областью определения функции. Областью значений функции называется множество всевозможных значений , когда .

Определение. Функция f(x) называется монотонно возрастающей на X, если для . Функция f(x) называется монотонно убывающей на X, если для . Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей на X, если для . Функция f(x) называется строго монотонно убывающей на X, если для .

Если различным значениям x отвечают различные значения y , то yY!xX:f(x)=y.

Полученная зависимость yx называется обратной функцией и обозначается f ^-1. Область значений прямой функции становится областью определения обратной функции и наоборот, область определения прямой функции превращается в область значений обратной функции.

Теорема. Если f(x) строго монотонна на X и имеет область значений Y, то на Y существует обратная функция .

Для доказательства этого утверждения достаточно отметить выполнение условия единственности x в выражении yY!xX:f(x)=y , которое следует из строгой монотонности функции.

Графиком функции называется геометрическое место точек на плоскости вида: или, что тоже, геометрическое место точек .

Суперпозиция g:TX,f:XY, :TY. Пишут также

y = f(g(t)).

3.1.2.Ограниченность. Точные грани

Пусть функция f определена на X.

Функция ограничена на множестве : bxX:|f(x)|b.

Функция ограничена сверху на множестве X. bxX : f(x) b.

Функция ограничена снизу на множестве X. bxX : f(x) b.

Точная верхняя грань

1.xX :f(x)b

2.>0xX :f(x)>b - 

Верхняя грань достигается, если  xX :f(x)=b.

3.1.3.Элементарные функции

Функции: константа y=const, степенная y=x^a, показательная y=a^x (a>0),ее обратная, , тригонометрические и их обратные называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, полученная применением конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями называется элементарной функцией.

Примеры: Многочлен n степени

= a₀+ a₁x+…+ a_m-1x^m-1+ a_mx^m (a_m0),

дробно рациональная функция

3.2. Предел функции

Предел функции. Критерий Коши. Локальные свойства функции, связанные с пределами.

3.2.1. Определение предела по Коши

В начале выпишем базовые определения разного типа окрестностей.

Окрестность числа a обозначается U_(a)=(a-, a+),  > 0,

окрестность символа + обозначается U_b(+)=(b,+) (b – любое число),

окрестность - обозначается U_a(-)=(-,a) (a – любое число),

окрестность  обозначается U_c()=(-,c)(c,) (c – любое число).

Проколотая окрестность , a - число.

Проколотая окрестность = U_b(+).

Проколотая окрестность = U_a(-).

Проколотая окрестность = U_c().

Определение предела функции по Коши: Задана функция f(x) с областью определения X. Будем предполагать, что X содержит некоторую проколотую окрестность точки a.

, если >0>0x,0<|x - a|<, xX : |f(x) - A|< .

Геометрическое определение: A – является пределом функции f(x) при x a, если для любой окрестности A существует проколотая окрестность a, такая, что (x X)(f(x)U(A)).

В геометрическом определении A, a числа или символы. Всего в этом определении содержится 16 различных вариантов определения предела ( -число, -число, ).

Рис. 3.1

Пример:

b>0x,0<|x – x₀|<, xX: f(x)>b.

cax, x<a, xX: |f(x)|>c.