4.6.6. Общая схема построения графиков

Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.

1 Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ). Периодичность.

2 Асимптоты

3 Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )

4 Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )

Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:

1. стационарные точки

2. особые точки (где не существует производная)

3. граничные точки.

Пример.

Асимптоты y/x1, x

при x .

Асимптота y=x-1

Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3

t	(-,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,)
	+		+		-
x	-  -3	-3	-3  1	1	1  -
Диапазон x	(-,-3)		(-3,1)		(-,1)
dy/dx	-	0	+	3	+
y(x)	-2	-2	-22	2	-2
d2y/dx2	+		+		-

Рис. 4.23

Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1 + cos t) в окрестности точек t = 0, t =  .

= .

=

Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции . Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.

Рис. 4.24

Рис. 4.25

Глава 5. Элементы теории кривых

5.1 Векторная функция скалярного аргумента

Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.

5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями

На плоскости

, r(t)=x(t)i+y(t)j .

В пространстве

, r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k .

Операции над вектор функциями

1) p(t), q(t) p(t)+ q(t).

2) (t)r(t).

3) Скалярное произведение (p(t) , q(t)).

4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ].

5.1.2. Предел вектор функции

Определение

r(t)=a

Или, что тоже, |r(t) – a|=0 .

Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i , j , k.

Геометрическая интерпретация.

Рис. 4.26

Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела

r(t) = a необходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции

r(t) = a

Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим

(t) = max{|x(t)-a_x|,| y(t)-a_y |,| z(t)-a_z |}. Для любого t справедливо неравенство

(t)  =|r(t) – a|.

С другой стороны |r(t)–a|=

 (t).

Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.

Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r(t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t₀. Можно рассматривать односторонние производные.

Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.

1. Предел, если он существует, единственен.

2. Предел суммы и произведения на обычную функцию

( p(t)+q(t) )= p(t)+ q(t).

((t) p(t))= (t) p(t).

3) (p(t) , q(t))=(a , b).

a= p(t) , b = q(t) .

Доказательство. Пусть p(t)= ,q(t)= , a= , b = . Тогда ( p(t),q(t))= = ( a , b ).

4) [ p(t) , q(t)]=[ a , b ] , если a= p(t) , b = q(t) .

Для краткости введем обозначения:

.

[p(t),q(t)]= [ a , b ].