Глава 2. Последовательности
2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.
2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
Определение. Последовательность {an } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an }: n an .
Ограниченность сверху. b nN: an b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.
Ограниченность снизу. a nN: an a. Существует нижняя грань.
Ограниченность. c nN: |an| c. Существуют верхняя и нижняя грани.
Примеры: {(-1)n},
sin
n,
Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:
nN: xn b (b есть верхняя грань).
>0 nN: xn > b - (никакое меньшее число не является верхней гранью).
Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая inf.
Пример. Написать на кванторах утверждение b sup {xn}.
b sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).
Другими словами:
или выполнено 1) nN: xn > b,
или выполнено 2) > 0 nN: xn b - .
Монотонно возрастающая последовательность {an}: nN: an an+1.
Строго монотонно возрастающая последовательность {an}: nN: an < an+1.
Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.
2.1.2. Предел последовательности
запись на кванторах
{xn}
сходится
(у последовательности есть конечный
предел).
Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.
Замечание.
Бесконечно малая
последовательность {xn}
:
.
Замечание. {xn} a xn=a+n, где n - бесконечно малая последовательность.
2.1.3. Несобственные пределы
Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).
Отметим, что
и
.
Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию .
В определении
и в определении
можно
писать:
и
.
Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.
Геометрическое определение предела
Интервал (a-, a+) называется - окрестностью точки a .
Окрестностью - называется множество вида (-,b) .
Окрестностью + называется множество вида (b,+) .
Окрестностью называется множество вида {x: |x|>b} =
=(-,-b) (b,+). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.
Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.
2.2. Теоремы о пределах последовательностей
Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.
2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Доказательство:
Предположим
противное, существует два предела:
,
.
Возьмем какое нибудь
,
удовлетворяющее условиям:
.
Например, можно взять
.
По определению предела будет существовать
такое, что
при
.
Точно также существует
такое, что
при
.
Тогда при
будут выполнены неравенства
.
Полученное противоречие доказывает
требуемое утверждение.
Рис. 2.1
Т еорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
.
Возьмем =1
по определению предела для него существует
Nn>N:a
-1<xn<a+1.
В таком случае для числа
b=max{|x1|,…,|xN|,|a-1|,|a+1|}
для любого n
будет
выполнено |xn|<b.
Теорема 3 (О
трех последовательностях).
Если для трех
последовательностей
выполнены
неравенства
, и
,
то
Теорема 4
(Переход к
пределу в неравенству).
Если для всех n
выполнены
неравенства
и
,
то
.
Следствие
1.
Следствие
2.
Замечание.
