3.5.8.Равномерная непрерывность

Функция f(x), определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

x,xX,|x-x|<: |f(x)-f(x)|<.

Непосредственно из определения следует, что всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна в любой точке этого множества. Здесь предполагается выполненным предусловие непрерывности. Именно, если , то определена хотя бы в проколотой окрестности точки , быть может, односторонней. Обратное, вообще говоря, неверно. То есть, непрерывная на функция не обязана быть равномерно непрерывной на этом множестве. Примером может служить функция Однако, справедлива теорема

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a,b] функция f равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство. От противного.

₀>0>0 u,v [a,b],|u-v|<:|f(u) - f(u)|₀. Для =1/n  u_n,v_n,| u_n-v_n|<1/n:

|f(u_n) - f(v_n)|₀. (1)

По теореме Больцано-Вейрштрасса  = x₀[a,b], тогда и = x₀. В силу непрерывности функции,

. Таким образом,

, что противоречит (1).

Приведем достаточное условие отсутствия равномерной непрерывности функции.

Теорема. Пусть функция непрерывна на и существуют две последовательности из области , сходящиеся к некоторому общему значения и такие, что . Тогда функция не является равномерно непрерывной на .

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Выпишем отрицание равномерной непрерывности:

₀>0>0 u,v X,|u-v|<:|f(u) - f(u)|₀ (2)

Возьмем и для произвольного выберем так, чтобы

а) и

б)

Выполнение первого условия для достаточно больших k следует из равенства пределов . Что касается второго условия, то оно может быть получено из условия из которого и следует выполнение условия б) для достаточно больших номеров. Таким образом, утверждение (2) доказано.

Пример. Воспользуемся доказанной теоремой, чтобы доказать, что функция не является равномерно непрерывной на . В качестве требуемых последовательностей выберем последовательности: , то есть, , а выберем так, что , то есть Указанные последовательности удовлетворяют условиям теоремы и требуемое утверждение доказано.

Глава 4 Дифференциальное исчисление

4.1 Производная

Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.

4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.

Терминология

x=x - x₀ – приращение аргумента.

y= f =f(x) - f(x₀) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x₀ определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f(x₀)= = .

Обозначения для производной

Лейбниц, f(x₀) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x₀) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f(x₀+0), f(x₀-0).

f(x₀+0)= , f(x₀ - 0)= .

Теорема. Для существования производной f(x₀) необходимо и достаточно существования обеих односторонних производных f(x₀+0), f(x₀ - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.

Если f существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f (x), которая называется производной функцией.

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x₀ называется дифференцируемой в точке x₀, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

f = f(x) - f(x₀) = A(x - x₀)+o (x – x₀), xx₀

Теорема. Для существования f (x₀) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x₀.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

 A  .

Замечание. Отметим, что A= f (x₀).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки графика, при x x₀ называется касательной к графику функции f(x) в точке x₀ .

= arctg =arctg f(x₀).

Рис. 4.1

Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,

. Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x₀ равен , . Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x₀: .

Рис. 4.2

Последнее равенство можно сравнить с определением дифференцируемости в точке .

Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае: .

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв производной в нуле.