- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
3.5.6.Непрерывность обратной функции
Еще раз определение обратной функции. Пусть f(x) определена на X и Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1), y2=f(x2). Тогда для любого y Y !xX: y=f(x), такое соответствие y x называется обратной функцией и обозначается x=f -1(y). У обратной функции областью определения будет Y , а областью значений X.
Лемма. Обратная функция строго монотонно возрастающей функции будет строго монотонно возрастать. Обратная функция строго монотонно убывающей функции будет строго монотонно убывать.
Доказательство. Например, пусть f(x) строго монотонно возрастает. Если y1 ,y2 из области значений функции f(x) и y1 < y2 , то
f -1(y1) < f -1(y2). Действительно, если предположить противное: , то из условия монотонного возрастания функции f(x) получим неравенство y1= f(x1) f (x2)=y2 , что противоречит условию y1 < y2 . Аналогично доказывается, что обратная к монотонно убывающей функции является монотонно убывающей функцией.
Теорема ( существование и непрерывность обратной функции у монотонной )
Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.
Доказательство. Существование обратной функции следует из строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность. Аналогичная теорема имеет место для строго монотонно убывающей функции.
3.5.7.Непрерывность элементарных функций
1) Непрерывность функции ax, a>0.
Справедливо равенство .
a) Если a>1, обозначим , a=(n+1)n > nn, n<a/n , следовательно n – б.м..
Замечание. Отметим, что точно также можно доказать равенство . Именно, , n=(n+1)n > ,
n< , следовательно n – б.м..
b) Если a <1, то , b > 1.
Докажем, что (непрерывность в 0 функции ax ).
1 a> 1.
Докажем вначале, что . Пусть {xk} последовательность типа Гейне для , то есть, xk0, xk>0. Можно считать, что . Для последовательности целых частей будут выполнены неравенства . Откуда, в частности, следует, что nk+ и далее, переходя к пределу при k , получим требуемое равенство (определение одностороннего предела по Гейне). Аналогично рассматривается случай x 0 - 0. Из существования и равенства односторонних пределов следует доказываемое утверждение: .
2 Если a<1, то bx=1/ax,где b=1/a > 1.
2) Функция ax непрерывна в точке x0 . Это следует из равенства .
3). Функция y=logax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции x=ay .
4). Степенная функция y=x. Докажем непрерывность при x>0. Имеем x=e ln x, далее следует воспользоваться теоремой о непрерывности суперпозиции. Если допускает отрицательные значения для функции y=x , то для доказательства непрерывности этой функции при функцию можно представить в виде: . Непрерывность в нуле рекомендуется попробовать доказать самостоятельно (непосредственно по определению).
5). . Другими словами, или
Доказательство. Функция непрерывна, как суперпозиция непрерывной и имеющей предел функции: . Аналогично доказывается, что
6) = ln a . Другими словами, или .
Доказательство. Обозначим ax - 1=y, тогда x ln a=ln(1+y),
Стремление к нулю x 0 эквивалентно стремлению к нулю y 0,
.
Пример 1 (Следствие из предыдущего примера). Таким образом, или .
Пример 2. Вычислить предел .
.
Отдельно вычислим пределы и
= = =
= = = = =aa ,
= =aaln a .
=aa(ln a + 1).
7) . Таким образом, или .
Доказательство. Обозначим (1+x) - 1=y, тогда ln(1+x) = ln(1+y).
.
Пример 3. Вычислить предел .
.
Отдельно вычислим пределы и
= =aa ln a,
=- = =
= =-aa.
= aa(ln a - 1).
8) Вычислить предел .
тогда
Поэтому .
9) Непрерывность .
|sin x –sin x0|=2
Непрерывность cos x следует из свойств непрерывных функция: cos x = sin(x+/2).
Непрерывность тригонометрических функция tg x, ctg x, arcsin, arcos, arctg, arcctg в своих областях определения следует из свойств непрерывных функций. Например, tg x непрерывен для всех кроме точек , в которых имеется разрыв второго рода.
10) f=const, многочлен Pn(x)= является непрерывными функциями всюду, рациональная функция
непрерывна всюду, кроме нулей знаменателя.