3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на концах промежутка [a,b] значения разных знаков, то c(a,b): f(c)=0.

Доказательство. Пусть, например, A=f(a)< 0, B=f(b)> 0. Далее производится последовательное деление отрезка пополам так, что f(a_n)< 0< f(b_n). Общий шаг этого процесса. Дано: f(a_n)< 0< f(b_n). Обозначим середину отрезка [a_n, b_n] через c_n= .

Рис. 3.8

Если , то нужная точка найдена.

Если , то полагаем .

Если , то полагаем .

Этот процесс может оборваться на некотором шаге и, таким образом, нужная точка c будет найдена. В противном случае в результате этой процедуры будет построена последовательность вложенных, стягивающихся к нулю отрезков {[a_n, b_n]} , таких, что f(a_n)<0< f(b_n). Пусть c – общая точка для этих отрезков: a_n c b_n.

Тогда из условия b_n - a_n 0 следует, что a_n=c= b_n , далее из условия f(a_n)< 0< f(b_n) получим, что f(c) 0 f(c).

Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], f(a)f(b). Тогда для M из промежутка f(a), f(b) c[a,b]:f(c)=M.

Доказательство: Пусть, например, A=f(a)<B=f(b), доказанную теорему применяем к функции F(x)=f(x) – M .

Рис. 3.9

Следствие 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке X и , тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m,M].

Действительно, по второй теореме Вейерштрасса точные верхние грани достигаются. Таким образом, существуют такие, что и . К точкам применяем следствие 1.

Рис. 3.10

3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x), определенная на [a,b], была непрерывна на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)], либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для x₀(a,b], и для x₀[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x₀(a,b], A= , тогда для x[a,x₀) :f(x)A и для >0 x[a,x₀):A- <f(x).

Рис. 3.11

Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x₀):A- < f(x)  f(x)A. Таким образом, равенство доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x₀ имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:

, .

Пусть, например, . Так как функция возрастает, то это означает, что .По лемме .

Имеем при x  x₀, f(x₀) < f(x₀+0)  f(x) при . Таким образом, значения между f(x₀), f(x₀+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Рис. 3.12

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.