3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции:

f(x₀)>0U(x₀) : .

3) Если f(x) непрерывна в точке x₀, g(x) непрерывна в x₀, g(x₀)0, то функция непрерывна в x₀.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f(x) определена в окрестности x₀ и непрерывна в x₀,

g(x) определена в окрестности t₀ и непрерывна в t₀, g(t₀)=x₀. Тогда в некоторой окрестности тоски t₀ определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t_0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x₀ , то x₀ – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x₀ , или , функция претерпевает разрыв в точке x₀ .

Определение. Если существуют конечные пределы

f(x₀ - 0) f(x) и f(x₀+0) f(x)

и f(x) разрывна в точке x₀ , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом , то разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.

Различают конечные и бесконечные разрывы второго рода.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Если существует конечный предел f(a+0) и , то разрыв называется разрывом первого рода

Пример 1. Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке .

Рис. 3.4

График функции

Пример 2. Функция имеет разрыв второго рода в точке

Рис. 3.5

Пример 3. Функция = sign x имеет не устранимый разрыв первого рода в точке

Пример 4. Функция = sign x имеет устранимый разрыв первого рода в точке справа.

Пример 5. Функция = sign x имеет устранимый разрыв первого рода в точке слева.

Рис. 3.6

3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса

Лемма. Если {x_n}[a,b] и x_n=x₀, то x₀[a.b].

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах: .

Теорема 1 (Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].

Доказательство (От противного). Ограниченность: Mx[a,b]:|f(x)|M. Отрицание Mx[a,b]:|f(x)|>M. В частности, n x_n[a,b]:|f(x_n)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность { } x₀, x₀[a,b]. Тогда, с одной стороны |f( )|>n_k, с другой стороны f( )f(x₀).

Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.

Доказательство. Пусть M= f(x), тогда, беря в качестве . Выберем сходящуюся подпоследовательность x₀, x₀[a,b], . Переходя к пределу в этих неравенствах при k получим требуемое равенство f(x₀)=M.

Рис. 3.7