4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций

Теорема 1. Если функция f(x) четна и существует f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0), то имеет место следующее разложение этой функции

.

Если функция f(x) нечетна и существует f⁽²ⁿ⁺²⁾(0), то имеет место следующее разложение этой функции

.

Теорема 2. Если функция f(x) четна и существует f⁽²ⁿ⁺²⁾(x) в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство

,

где (0,x) или (x,0).

Если функция f(x) нечетна и существует f⁽²ⁿ⁺³⁾(xi в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство

,

где (0,x) или (x,0).

Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке

f^(2k+1)(0) = 0 , если f(x) четна.

Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и

f^(2k)(0) = 0 , если f(x) нечетна.

В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+2 включительно.

4.6 Исследования характера поведения функций

Исследование функций. Монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, асимптоты.

4.6.1.Условие монотонности функции

Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a,b] и дифференцированная на (a,b) функция f(x) была постоянной на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 на (a,b).

См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была не убывающей ( не возрастающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b).

Доказательство. Необходимость

далее к перейти пределу.

Достаточность. Если x < x, то по теореме Лагранжа

f(x) - f(x)=f()(x- x) откуда и следует требуемая монотонность.

Пример. Оценить погрешность приближения функции sin x многочленом третьей степени на отрезке [0, /2].

Рассмотрим функцию f(x) = sin x – x +x³/6. Имеем f(x)=cos x – 1 + x²/2 и далее  - 2 , на [0, /2] . Отсюда следует, что функция f(x) монотонно возрастает на указанном отрезке и, таким образом, достигает максимума в точке /2. max |sin x – x +x³/6|=1 - /2 + ³/480.075.

Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b) и чтобы не существовало промежутка [,][a,b], на котором f(x)0.

Утверждение теоремы является непосредственным следствием теоремы 2.

Следствие. Для непрерывной на [a,b], дифференцируемой на (a,b) функции f(x) условие f(x)>0 (f(x)<0 ) на (a,b) влечет строгое монотонное возрастание (убывание).

Пример. Доказать, что для любого n функция

f_n(x)=x(/2-arctg nx) строго монотонно возрастает на [0, +) и .

f_n(x) = - arctg nx – = - g(nx), где g(u) = arctg u + .Имеем g(u)= .

g(0)=0, g(+)=/2. Таким образом, g(nx) < /2 и, следовательно, f_n(x) = - g(nx) > 0.

Отсюда следует, что Для вычисления последнего предела воспользуемся правилом Лопиталя