- •Комбинаторика. Основные понятия.
- •Основные теоремы теории вероятностей. Свойства операций над событиями
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения, математическое ожидание, дисперсия. Свойства математического ожидания, дисперсии.
- •Дискретные случайные величины.
- •Математическое ожидание m(X).
- •Точечные оценки. Выборочное среднее, генеральная средняя, выборочная дисперсия, генеральная дисперсия, исправленная дисперсия.
Комбинаторика. Основные понятия.
Комбинаторика – раздел математики, в котором рассматриваются различные комбинации элементов множества (или множеств), а так же способы подсчета их числа.
-
Правило суммы для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В - другими m способами, то выбор “или A, или B” можно осуществить n+m способами.
Замечание. Множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объект B не должно иметь общей части.
-
Правило суммы для выбора m объектов. Если объект А1 можно выбрать n1 способами, объект А2 - другими n2 способами,…, объект Аm - nm способами, отличных от всех предыдущих, то выбор “или A1, или A2 , … или Am ” можно осуществить n1+n2+…+nm способами.
-
Правило произведения для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами после этого при любом выборе объекта А объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары“ A и B” можно осуществить nm способами.
-
Правило произведения для выбора m объектов. Если объект А1 можно выбрать n1 способами, объект А2 - другими n2 способами,…, объект Аm - nm способами, отличных от всех предыдущих, то выбор всех элементов “ A1 , и A2 , и Am ” можно осуществить n1n2…nm способами.
-
Перестановка. Перестановкой из n элементов называется некоторое расположение этих n элементов на n местах.
-
Размещение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов, взятых по m, отличающиеся порядком и составом.
-
Сочетания. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов, взятых по m, отличающиеся только составом, а порядок не важен.
.
Случайные события. Вероятность – классическое определение. Относительная частота.Случайные события – это события, исход которых заранее предсказать нельзя (например, попадание в цель при выстреле).Существует три способа определения вероятности: аксиоматический, статический, классический. Сейчас поговорим о классическом определении.Определение: Вероятность события A – этогде m – число элементарных событий благоприятствующих А,
n – общее число равновозможных событий.Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу опытов:где - число появлений события А n – общее число опытов.
Основные теоремы теории вероятностей. Свойства операций над событиями
Определение: Суммой двух событий A+B называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.Например: Если событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие B – попадание в цель при втором выстреле, то C=A+B – попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле : при первом или при втором или при обоих вместе.
Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.
Определение: Произведением двух событий AB двух событий называется событие, состоящее в совместном появлении события А и события B.Например: Если событие А – появление дамы при вынимании карты из колоды, событие B – появление карты пиковой масти, то C=AB – появление пиковой дамы.
Определение: Событие называется противоположным для А, если оно выполняется тогда и только тогда, когда не выполняется событие А.
При вычислении вероятностей удобно бывает представить сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операции сложения, умножения, а так же противоположные событие.
Пример: - попадание при первом выстреле, - попадание при втором выстреле, - попадание при третьем выстреле..Пусть событие В - в результате трех выстрелов будет только одно попадание:
Свойства операций над событиями
-
,
-
- коммутативность,
-
- ассоциативность
-
- дистрибутивность
-
и ,
-
,
-
-
где - достоверное событие, - невозможное событие.
Теорема 1: Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей
Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:.
Полная группа событий. Условная вероятность.
Полная группа событий
Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.
Теорема 2: Сумма вероятностей , образующих полную группу, равна единице: .
Теорема 3:
Теорема 4: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: . (без доказательства).
Определение: Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.
Определение: Условной вероятностью называется вероятность события A , вычисленную при условии, что событие B произошло.
Теорема 5: .
Следствие: , .
Эти формулы можно распространить на любое число событий:
Определение: События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, т.е.
, т.е. (теорема 4).
Теорема 6: Вероятность двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.
Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.
Формула полной вероятности.
Теорема: Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу.
Пусть известны вероятности , тогда -
формула полной вероятности.
Доказательство:
Т.к. по условию событие A может наступить, если наступит одно из несовместных событий , то появление события A означает осуществление одного, безразлично какого из несовместных событий
, т.е.
Формулы Бейеса
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Так как неизвестно, какое из этих событий произойдет, их называют гипотезами.
Допустим, что произошло испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, т.е. будем искать
Ясно, что . Значит,, но, т.е..
Аналогично, для Или в общем виде можно записать -формулы Бейеса.
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие А или произойти событие с вероятностью . Такого рода схема называется схемой Бернулли.
Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k – раз вычисляется по формуле Бернулли:.
Доказательство:
Заметим, что не требуется, чтобы событие A повторялось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если мы хотим, чтобы событие A появилось 3 раза в четырех испытаниях, то это может быть.
По аналогии, если в одном испытании событие A появилось k раз, то вероятность: .Таких событий может быть: .