Точечные оценки. Выборочное среднее, генеральная средняя, выборочная дисперсия, генеральная дисперсия, исправленная дисперсия.

Для оценки математического ожидания нормального распределения используют среднее арифметическое наблюдаемых значений.Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности

,где - частоты, .

Ясно, что .

Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности

,

где - частоты, .

Определение: Генеральной дисперсией называют

.

- генеральное среднее квадратическое отклонение.

Определение: Выборочной дисперсией называют

. - выборочное среднее квадратическое отклонение.

Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n.

-значение признака - частоты,

причем .

Легко исправить выборочную дисперсию:

-исправленная дисперсия,

Характеристики вариационного ряда (мода, медиана, размах варьирования, среднее абсолютное отклонение, коэффициент вариации).

Модой называют вариацию, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две равные части по числу вариант.

Если число вариант , то , если , то .Пример:.

Размахом варьирования R называют

Для предыдущего примера .

Средним абсолютным отклонением называют

служит для характеристики рассеяния ряда.

Коэффициент вариаций V.

служит для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов. Тот ряд имеет больше рассеяние, у которого больше.

Статистические оценки

Определение: Точечной оценкой называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, являются точечными.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому, при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Определение: Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть - параметр, - найденная по данным выборки статистическая характеристика. Она служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что чем меньше , тем точнее определяется параметр . Другими словами, если и , то чем меньше , тем точнее .

Определение: Вероятность называется надежностью (доверительной вероятностью). Обычно надежность оценки задается заранее, причем в качестве берут число, близкое 1. Наиболее часто задаются надежности 0,95;0,99 и 0,999.

По другому можно записать .

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Интервал называется доверительный интервал.

Возможные задачи:

I . Если X распределено нормально, значит параметров 2. Пусть среднее квадратичное отклонение известно. Оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней.

Найдем , т.е. .

Решение основано на формуле

Заменим в этой формуле через . В результате несложных преобразований, получается

где .

Число определяется из по таблице функции Лапласа.

Замечание: 1) при возрастании объема выборки n число убывает, следовательно, точность оценки увеличивается.

2)при увеличении надежности оценки, т.е. , t – возрастает, т.к. возрастающая функция, а значит - возрастает. Следовательно, увеличение надежности влечет за собой уменьшение ее точности.

II . Пусть X распределено нормально и среднее квадратичное отклонение неизвестно. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительных интервалов.

,

где s – исправленное среднее квадратичное значение, а = ищется по приложению 3 по и n.

III . Пусть X распределено нормально. Требуется оценить по исправленному выборочному среднему отклонению s, т.е.

,

где - ищется по приложению 4.

Оценки истинного значения измеряемой величины

Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение a, которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины . Эти величины независимы, имеют одно и тоже математическое ожидание a, распределены нормально. Значит истинное значение измеряемой величины можно оценить по I и II.

Пример : По данным 9 независимых равноточных измерений физической величины среднее арифметическое и . Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,95.

Решение: по II

, значит, .

, значит,

Оценки точности измерений

В теории ошибок принято точность измерений характеризовать при помощи среднего квадратического отклонения .