23.Правило Лопиталя.

 Пусть при  x   a  для  функций  f ( x ) и  g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки  а , выполняются условия:

Эта теорема называется  правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа:  0 / 0  и    /  .

24.Ряд Тейлора. Остаточный член в ряде Тейлора в разных формах.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a

И n производную в самой точке a, тогда:

 — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

25.Ряд Маклорена для элементарных функций.

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











26.Участки монотонности функции, точки экстремума. Необходимое условие экстремума.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

В точках x₁ , x₂ ( рис.5a ) и x₃ ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x₁ , x₂ ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

 

Необходимое условие экстремума. Если x₀ - точка экстремума функции f ( x )  и производная  f’  существует в этой точке, то  f’ ( x₀ ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x ³ равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке  x = 0 , но в этой точке производной не существует.

 

27.Первое и второе достаточное условие экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с плюса на минус, то  x₀  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x₀  - точка минимума.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция   непрерывна в   и существуют конечные или бесконечные односторонние производные  . Тогда при условии

x₀ является точкой строгого локального максимума. А если

то x₀ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x₀

Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x₀. Тогда при условии

 и 

x₀ является точкой локального максимума. А если

 и 

то x₀ является точкой локального минимума.