1.Комплексные числа (геометрическое представление, алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи). Действия с комплексными числами.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел x и y.  Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, x = Rez;  второе число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Imz, y = Imz.  Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: 

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Число     ,   где  называется комплексно сопряженным числу    

Комплексное число z = x + iy естественно изображать в виде точки на плоскости с декартовыми координатами (x, y).

 

Если x и y - декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (r, j) и воспользовавшись связью x = rcosj, y = rsinj получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:  z = r (cosj + isinj) .  При этом число r называют модулем комплексного числа, |z| = r, а число j - аргументомкомплексного числа,  Arg z = arg z+2kp= j.

При решении задач для вычисления аргумента удобно пользовааться схемой, приведенной ниже:

Справедливы соотношения:

Используя формулу Эйлера  получим показательную форму записи комплексного числа:

2.Вещественные числа. Точная верхняя и точная нижняя грань. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности.

Пусть X-числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x  X - x содержится в Х. ; x  X - x не принадлежит Х.

Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что для любого x  X выполняется неравенство x  M (x  m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если  M,  x  Х x  M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если  M  x  Х x  M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть  М, m такие, что  x  Х m  x  M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если  A > 0,  x  X: x A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ

(супремум). =SupХ. Аналогично можно определить точную

нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:

Число называется точной верхней гранью множества Х, если: 1) x  X: х  (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) <  x  X: х > (это условие показывает, что -

наименьшая из верхних граней).

Sup X= :

1.  x X: x  .

2.  <  x X: x > .

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = {x: x>0} не имеет наименьшего числа.

Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани. Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xR имеет точ верх(ниж) грань.

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.

• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.