13. Свойства функций, непрерывных на отрезке (локальная ограниченность, прохождение через 0, промежуточные значения).
Свойства функций, непрерывных на отрезке
1.
Если функция 
непрерывна
на отрезке 
,
то она ограничена на этом отрезке.
2.
Если функция
непрерывна
на отрезке
,
то она достигает на этом отрезке
наименьшего значения 
и
наибольшего значения
(теорема
Вейерштрасса).
Если
функция
непрерывна
на отрезке
и
значения ее на концах отрезка 
и 
имеют
противоположные знаки, то внутри отрезка
найдется точка 
такая,
что 
.
(Теорема Больцано-Коши.)
14.Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса).
1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса).
15.Теорема Ролля.
Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a,b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.
16.Теорема Лагранжа.
если
функция f (x) непрерывна
на отрезке [a; b] и
дифференцируема на интервале (a; b),
то существует хотя бы одна точка 
такая,
что
|
17.Обобщённая теорема о конечных приращениях.
Теорема
20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)
непрерывны на отрезке [a;b] и
дифференцируемы во всех внутренних
точках этого отрезка, причём
производная 
отлична
от нуля во всех внутренних точках
отрезка [a;b]. Тогда внутри
отрезка [a;b] найдётся такая
точка c, что справедлива формула
Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.
18.Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора. Примеры равномерно непрерывных и неравномерно непрерывных функций.
Определение равномерной непрерывности
Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если
Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:
Теорема Кантора
Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.
19.Понятие дифференцируемой функции и производной. Свойства производной. Логарифмическая производная.
Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, имеющая дифференциал. Дифференцируемая функция может быть хорошо приближена линейной функцией.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Если u ( x ) ≡ const , то
u’ ( x ) ≡ 0 , du ≡ 0.
Если u ( x ) и v ( x ) - дифференцируемые функции в точке x0 , то:
( c u )’ = c u’ , d ( c u ) = c du , ( c – const );
( u ± v )’ = u’ ± v’ , d ( u ± v ) = du ± dv ;
( u v )’ = u’ v + u v’ , d ( u v ) = v du + u dv ;
Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.
