20. Правило дифференцирования сложной функции и функции заданной параметрически.

Производная сложной функции. Рассмотрим  сложную функцию, аргумент которой также является функцией: 

h ( x ) = g ( f ( x ) ).

Если функция   f  имеет производную в точке  x₀, а функция  g  имеет производную в точке  f ( x₀ ), то сложная функция  h  также имеет производную в точке  x₀ , вычисляемую по формуле:

h’ ( x₀ ) = g’ (  f ( x₀ ) ) ·  f’ ( x₀ ) .

Пусть задана зависимость двух переменных   и   от параметра   , изменяющегося в пределах от   до   :   Пусть функция   имеет обратную:   . Тогда мы можем, взяв композицию функций  и   , получить зависимость   от   :   . Зависимость величины   от величины   , заданная через зависимость каждой из них от параметра   в виде   , называется функцией   , заданной параметрически . Производную функции   , заданной параметрически, можно выразить через производные функций   и   : поскольку   и, по формуле производной обратной функции,   , то  где    -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение  . 

21.Первый дифференциал. Свойства.

Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  x часть приращения  y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x) x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx =  x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

d c = 0;

d(c u(x)) = c d u(x);

d(u(x)  v(x)) = d u(x)  d v(x);

d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v²(x).

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u =  (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f((x)). Если каждая из функций f и являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме ( 3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,

так как u'dx = du. То есть

dy = f'(u)du.

22.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Свойства производных высших порядков.

Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

(cf(x))⁽ⁿ⁾=c·f⁽ⁿ⁾(x).

(f(x)+g(x))⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)+g⁽ⁿ⁾(x).

Для y=x^m y⁽ⁿ⁾=n(n-1)…(n-m+1)x^m-n. Если m – натуральное число, то при n>m y⁽ⁿ⁾=0.

Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n-го порядка от произведения функций f(x)g(x):

.

Заметим, что коэффициенты в этой формуле совпадают с соответствующими коэффициентами формулы бинома Ньютона, если заменить производные данного порядка той же степенью переменной. Для n=1 эта формула была получена при изучении первой производной, для производных высших порядков ее справедливость можно доказать с помощью метода математической индукции.

Получим формулу для второй производной функции, заданной параметрически. Пусть x = φ(t), y = ψ(t), t₀ ≤ t ≤ T. Тогда . Следовательно,