2. Математичне моделювання хтп

Математичне моделювання ХТП – основний метод хімічної кібернетики. Фізичне моделювання. Теорія подібності – основний метод фізичного моделювання. Геометрична й фізична подібність. Математичне моделювання. Етапи побудови математичної моделі. Рівняння балансу маси й енергії для нестаціонарних і стаціонарних процесів. Загальний принцип побудови рівнянь балансу. Початкові й граничні умови. Класифікація систем рівнянь математичного опису:

• системи кінцевих (лінійних і нелінійних) рівнянь;

• системи звичайних диференціальних рівнянь;

• системи диференціальних рівнянь у часткових похідних;

• інтегродиференційні рівняння.

Алгоритмізація математичних моделей. Аналітичні методи рішення. Чисельні методи рішення рівнянь математичного опису ХТП. Вибір чисельного методу, складання алгоритму рішення, вибір мови програмування, реалізації завдання на ЕОМ. Задачі Коші й крайові задачі. Поняття адекватності математичної моделі реальному об'єкту. Критерій адекватності. Типові математичні моделі структури потоків; модель ідеального змішування, модель ідеального витиснення, дифузійна (одно- і дво параметрична) модель, коміркові моделі, комбіновані моделі.

Методичні вказівки

Оскільки реальні хіміко-технологічні процеси реалізуються в апаратах великої одиничної потужності та відрізняються значною складністю, їх вивчення, звичайно, проводять на моделях. При моделюванні найбільше поширення одержали 2 види моделей: фізичні й математичні. Відповідно до цих моделей розрізняють фізичне й математичне моделювання.

Фізичне моделювання – це вивчення поводження об'єкта в тих або інших умовах шляхом експериментального дослідження на його фізичній моделі. При цьому експериментальна модель повинна володіти як геометричною так і фізичною подібністю реальному об'єкту. Фізичне моделювання використовується при моделюванні найпростіших процесів з одним критерієм подібності. Однак, методи фізичного моделювання здобувають нову якість: їх використають для знаходження границь зміни коефіцієнтів, що входять у рівняння математичної моделі, і тим самим – для рішення проблеми масштабування математично описаного процесу та установлення адекватності моделі реальному об'єкту.

Математичне моделювання проводять за трьома етапами:

– формалізація досліджуваного процесу (побудова математичної моделі);

– алгоритмізація ( програмування рішення завдань, що забезпечує знаходження чисельних значень обумовлених параметрів);

– установлення відповідності (адекватності) моделі реальному об'єкту.

Математичні моделі базуються на законах збереження маси та енергії, вираженням яких є рівняння балансів. Баланс може бути складений для певної технологічної операції, але в безперервних процесах зручніше становити рівняння балансу за одиницю часу.

Для однофазних потоків як балансові рівняння часто використають рівняння нестаціонарної дифузії й теплопровідності при наявності джерел або стоків:

(2.1)

(2.2)

де – концентрація i-го компонента і температура, моль/м ³ · К;

D,λ – коефіцієнти дифузії й теплопровідності, м²/с; Вт/( м· К);

w – лінійна швидкість, м/с;

і – джерела ( при або стоки маси та енергії (якщо , моль/с; Дж/с;

х – координата, м;

час, c;

оператор Лапласа; .

Рівняння матеріального й теплового балансів, що описують процеси, які протікають у реакторі, ураховують тільки найбільш принципові особливості, що характерні для безлічі схожих, але відмінних один від одного явищ. Тому незалежно від виду диференціального рівняння, його рішення (якщо воно існує) у загальному випадку, повинне задовольняти всім явищам даного класу. Інакше кажучи, рівняння має безліч рішень. Відшукання однозначного рішення зводиться до знаходження рішення рівняння, що задовольняє деяким додатковим умовам, які прийнято називати як "граничні" (крайові) і "початкові" умови.

Початкові умови – це сукупність значень змінних величин (концентрації, температури та ін.) і деякого числа їх похідних у початковий момент часу, тобто =0.

Граничні умови – це умови на поверхні, що обмежує об'єм, у якому відбуваються хімічні перетворення процесу перенесення маси, тепла й гідродинамічні процеси, що їх супроводжують.

Розрізняють граничні умови 1-, 2-, 3-, 4-го роду.

Граничні умови 1-го роду характеризуються завданням потенціалу переносу (температури, концентрації, щільності й т.д) на границі розглянутого об'єму. Наприклад,

.

Граничні умови 2-го роду характеризуються завданням похідної від потенціалу переносу. Наприклад, завдання концентрації на виході з реактора витиснення зі зворотним перемішуванням записують у вигляді:

.

Граничні умови 3-го роду характеризуються завданням лінійної комбінації потенціалу переносу і його похідної на границі розглянутої області. Наприклад, концентрація на вході в реактор витиснення зі зворотним перемішуванням визначається граничною умовою Данквертста:

Граничні умови 4-го роду записують у вигляді рівності потенціалів і потоків переносу на границі розділу фаз:

= s s.

Математичні моделі об'єктів хімічної технології можуть містити як кінцеві рівняння, що не містять диференціальних операторів, так і диференціальні рівняння. Кінцеві рівняння використовують для опису стаціонарних режимів об'єктів зі зосередженими параметрами. Вони можуть бути алгебраїчними й трансцендентними. В останні входять трансцендентні функції, наприклад, ареніусовські члени:

Наприклад, як у рівнянні ( 2.3) – рівнянні теплового балансу для реактора ідеального змішування при наявності джерел тепла.

Звичайні диференціальні рівняння використовують для опису нестаціонарних режимів об'єктів із зосередженими параметрами, а також стаціонарних режимів об'єктів з розподіленими параметрами, у яких параметри залежать тільки від однієї просторової координати. Наприклад, рівняння матеріального балансу для нестаціонарного режиму РІЗ (реактора ідеального змішування):

при

Рівняння матеріального й теплового балансів для стаціонарного режиму РІВ (реактора ідеального витиснення):

;

(2.5)

при х = 0 ,

Диференціальні рівняння в часткових похідних використовуються для математичного опису динаміки об'єктів з розподіленими параметрами й стаціонарних режимів об'єктів, у яких концентрація (температура) змінюються уздовж декількох координат.

У ряді випадків при моделюванні складних об'єктів хімтехнології необхідно враховувати процеси як детермінованої, так і стохастичної природи. При цьому, результуючий математичний опис надають у формі інтегродиференційних рівнянь.

Залежно від типу завдань граничних умов задачі хімічної технології діляться на 2 класи: задачі Коші й крайові (жорсткі задачі).

Якщо граничні умови задають при одному значенні незалежної змінної, ми маємо завдачу Коші. Якщо граничні умови задані при декількох значеннях незалежної змінної – це крайові завдання. Прикладом задач Коші є рівняння (2.4), (2.5).

Прикладом крайової задачі може служити рівняння теплового балансу протитечійного теплообмінного апарата із двома зонами ідеального витиснення:

; (2.6)

з граничними умовами:

х= 0; ;

x= L ;

де F – поверхня теплообміну, м²;

масові витрати 1 і 2-го потоків, кг/м³;

Т₁, Т₂ – температура 1 і 2-го потоків, ^оК;

К – коефіцієнт теплопередачі, Вт/(м²·К);

– питомі теплоємності 1 і 2-го потоків, Дж/(м³·⁰ К.

Оскільки при розробці математичних моделей доводиться використати наближені значення деяких параметрів, виникає завдання оцінки адекватності моделі й при необхідності – її корекції.

Як критерій адекватності можна використати наступну функцію:

, (2.7)

де значення змінної величини у моделі;

– відповідне їй значення, що отримане в результаті прямого виміру на об'єкт і який моделюється;

– ваговий коефіцієнт ;

і – кількість параметрів ,що доступні для виміру.

Типові математичні моделі структури потоків в апаратах.

Все різноманіття математичних моделей потоків може бути представлене у вигляді ряду типових моделей: