25. Взвешенный метод наименьших квадратов

Способ 1. Делится каждое уравнение наблюдений на свое σ(u_t) и получается:

Тогда дисперсия случайного возмущения в каждом уравнении наблюдений есть:

Модель (10.6) в каждом уравнении наблюдения имеет одинаковые дисперсии случайного возмущения равные 1

Недостаток способа – оценить σ(u_t) не возможно!

Способ 2.

Предполагаем, что σ(u_t)=λx_kt, где x_kt регрессор «вызывающий» гетероскедастичность Пусть для примера это регрессор x₂_t

Уравнение (10.5) делится на значение этого регрессора.

Дисперсия случайного возмущения при этом есть:

Уравнения модели имеют постоянную дисперсию случайного возмущения равную λ²

Если регрессоров, приводящих к гетероскедастичности,несколько, то делается предположение:

Обе части модели делятся на величину Σ│xj│

Тогда дисперсия случайного возмущения полученной модели есть:

Предполагается, что дисперсию случайного возмущения можно представить в виде:

где: σ₀² – дисперсия единицы веса

λ – заданная константа, например ±0.5; ±1; ±2;

Вес случайного остатка вычисляется по правилу:

Рассмотренные способы устранения гетероскедастичности носят название «Взвешенный метод наименьших квадратов».

Теорема. Если в схеме Гаусса-Маркова не выполняется предпосылка о гомоскедастичности случайных возмущений, то наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели является:

где: Р матрица ковариаций случайных возмущений в уравнения наблюдений:

26. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теорема Эткейна.

В общем случае, когда не выполняются предпосылки теоремы гаусса-Маркова 2 и 3, тогда:

Теорема Эйткена. Если матрица Х коэффициентов уравнения наблюдений имеет полный ранг, М(u_i)=0, а матрица ковариаций случайных возмущений имеет вид (11.9), то наилучшие оценки параметров линейной модели множественной регрессии дает процедура: