Модель цепи в пространстве состояний.
Электрическая цепь, содержащая n реактивных элементов - индуктивностей и / или емкостей - может быть представлена в виде системы n линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Этими дифференциальными уравнениями связываются токи через индуктивности, напряжения на емкостях и возбуждающие сигналы, в роли которых выступают изменяющиеся во времени величины ЭДС источников напряжения и / или величины токов источников тока.
В цепях, содержащих реактивные элементы разного типа (емкости и индуктивности), возможны колебательные переходные процессы, связанные с циклическим перетоком энергии между емкостью и индуктивностью. В этом случае можно говорить о частотах собственных колебаниях системы и о резонансных явлениях, характеризующихся возрастанием амплитуды колебаний токов\ напряжений в цепи при ее возбуждении периодическим внешним воздействием, частота которого близка к частоте ее собственных колебаний.
Модель цепи в виде системы дифференциальных уравнений относительно токов, протекающих через индуктивности, и напряжений на емкостях называется моделью электрической цепи в пространстве состояний. Выбор такого состава компонент пространства состояний обусловлен тем, что токи индуктивностей и напряжения емкостей не могут изменяться скачком при любых коммутациях. Вследствие этого траектории движения системы во времени в таком пространстве оказываются непрерывными, и конечная точка одного фрагмента траектории служит начальной точкой для последующего
Получение модели цепи в пространстве состояний на основе системы уравнений Кирхгофа.
Любая математическая модель строится на основе формальной записи физических закономерностей. Для электрической цепи физические закономерности отражаются законами Кирхгофа с использованием т.н. компонентных соотношений.
Напомним, что первый закон Кирхгофа «запрещает» накопление зарядов в узлах схемы: сумма токов втекающих в узел равна сумме токов вытекающих из узла.
Второй закон Кирхгофа представляет собой одну из форм закона сохранения энергии: работа, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда по любому замкнутому контуру в цепи, равна работе внешних сил, разделяющих заряды в источниках. Или, что эквивалентно, алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура равна сумме алгебраической сумме ЭДС источников, входящих в этот контур.
Компонентные соотношения связывают напряжения на элементе цепи с величиной протекающего через него тока.
Для активных сопротивлений компонентные соотношения отражают известное выражение закона Ома для участка цепи:
, (1.1)
где i – ток через сопротивление;
U – падение напряжения на сопротивлении;
R – величина сопротивления.
Для реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) законы связи токов и напряжений носят дифференциальный характер.
Для индуктивности:
(1.2)
где iL – ток через индуктивность;
UL – падение напряжения на индуктивности;
L – величина индуктивности.
Для емкости:
(1.3)
где iС – ток через емкость;
UС – падение напряжения на емкости;
С – величина емкости.
Система уравнений Кирхгофа позволяет связать напряжения и токи в цепи алгебраическими уравнениями. Для линейных цепей, параметры которых R, L и C не зависят ни от величин токов, протекающих через элементы, ни от напряжений на них, эти уравнения имеют линейный вид. Наличие дифференциальных связей (1.2) и (1.3) приводит к тому, что часть алгебраических уравнений превращаются в дифференциальные.