Построение модели контроля

Считаем, что центр контролирует исполнителя с вероятностью , которую он выбирает из условия минимизации своих издержек . Эти издержки монотонно возрастают по и по . При выборочном контроле с вероятностью ожидаемый штраф исполнителя равен .

Для выбора оптимальных стратегий центра и исполнителя рассматриваем, таким образом, следующую игру:

Задача центра

. (4)

Задача исполнителя

. (5)

Введенную модель системы контроля следует рассматривать в рамках теории иерархических игр¹, так как центр в ней имеет преимущественные права в выборе механизма контроля и параметров. Ниже покажем, что теория иерархических игр позволяет получить механизмы контроля МК-1 и МК-2.

Решение игры (4)-(5) – механизм мк-1.

Способ контроля, описанный выше как механизм МК-1 получим путем решения следующих математических задач:

1. Находим реакцию исполнителя на разные значения из задачи

. (6)

Откуда

. (7)

2. Находим оптимальную частоту контроля из задачи:

. (8)

Получаем параметры МК-1

. (9)

Числовой пример.

Пусть . Тогда найдем решение задачи:

. (10)

Здесь параметр характеризует издержки центра от неполной исполнительности в данной экономической системе, а задачу (10) получаем подстановкой выражения (7) в выражение (8).

Решение задачи (10) имеет вид:

. (11)

Заметим, что формула (11) отражает принцип контроля, при котором увеличение жесткости показания (параметра ) ведет к снижению частоты контроля (параметр ).

Решение игры (4)-(5) – механизм мк-2.

Согласно теории иерархических игр данный механизм использует следующее правило контроля:

(12)

где - согласованная с исполнителем частота контроля и «разрешенный» уровень неисполнительности , находятся решение следующей задачи:

; (13)

(14)

В выражении (13), (14) - гарантированный результат исполнителя; функцию определим ниже; - константа, характеризующая уступку центра для заинтересованности исполнителя в использовании механизма МК-2. Выбор параметра в рамках иерархических игр не формализуется; считается внешним фактором. При уступки отсутствуют. В выражении (12) - стратегия наказания исполнителя, которая отыскивается из минимакса

. (15)

В нашем случае стратегия наказания имеет вид

, для всех (16)

и показывает, что в МК-2 центр «наказывает» неисполнительность жестким контролем, как это описано выше.

Гарантированный результат найдем решением следующей задачи.

. (17)

В данном случае оно совпадает с решением задачи (2) (см. также выражение (3)).

Рассматриваем задачу (13), (14). С учетом (17) ограничение (14) можно представить следующем виде:

. (18)

Для любой монотонно возрастающей функции по переменным характерной для объектов контроля, решение задачи (13) с ограничением (18) имеет вид:

. (19)

Окончательно стратегия контроля имеет вид:

(20)

Издержки исполнителя и центра отыскиваются из выражений

. (21)

. (22)

Рассмотрим пример. Пусть . Тогда

. (23)