Принятие решений в условиях неопределенности

В моделях принятия решений в условиях неопределенности мы снова имеем несколько состояний природы, но в данном случае нам неизвестны вероятности появления этих состояний природы.

Критерий Лапласа

При использовании критерия Лапласа условие неопределенности интерпретируется как предположение о равных вероятностях появления всех возможных состояний природы.

Максиминный критерий

При использовании данного критерия для каждого решения определяются наибольшие потери, возможные в случае принятия данного решения. Другими словами, каждое решение оценивается минимумом платежей, возможных при данном решении.

Максимаксный критерий

При использовании данного критерия для каждого решения определяется наибольший соответствующий ему платеж и затем в качестве оптимального решения выбирается решение, которому соответствует максимальный возможный платеж.

Индивидуальные задания.

Провести расчеты выбора решений по данным своего варианта. Провести анализ чувствительности решения при изменении параметра упущенной выгоды (выполнить 7 расчетов с шагом 5). Построить графики расчетов.

Таблица 1

Исходные данные для расчета платежной матрицы

Показатели	Номер варианта
	1	2	3	4	5
Цена продажи	75	39	86	93	46
Цена покупки	40	35	29	81	34
Упущенная выгода	50	47	84	24	34

Таблица 2

Варианты значений вероятностей состояния спроса

Вариант1	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1
Вариант2	0,4	0,2	0,1	0,2	0,1
Вариант3	0,4	0,3	0,1	0,1	0,1
Вариант4	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1
Вариант5	0,5	0,2	0,1	0,1	0,1

Экономико-математические модели распределения работ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Основные подходы к оптимизации организационной структуры с функцией распределения работ по исполнителям

Основной задачей оценки распределения работ по исполнителям являются назначение работ (операций) на каждого работника, обеспечивающее выполнение требуемых видов и качества работ в соответствии с заданными. В таких задачах исходными данными являются перечень и трудоемкость работ, состав исполнителей, их возможности и индивидуальные характеристики. В задачах требуется определить состав работ, который позволил бы наилучшим образом использовать эти возможности. В большинстве случаев при распределении работ решаются одновременно обе задачи (формирование и распределения работ). Класс таких задач именуются в литературе как задачи распределения трудовых ресурсов.

Результатом решения задачи распределения является фактическое назначение каждого конкретного исполнителя на конкретную работу (операцию), т.е. решение задачи, которая иногда называется задачей оптимального назначения, дает ответ на вопрос, как назначить исполнителей на работ , так чтобы максимизировать общую эффективность такого назначения.

Анализ задач распределения трудовых ресурсов осуществляется с помощью моделей транспортного типа, или моделей назначения, программно-целевых моделей, моделей последовательного назначения и имитационных моделей.

Модели транспортного типа.

Основная модель транспортного типа, или модель назначения, имеет следующее математическое выражение: найти максимум целевой функции

(1)

при условиях

(2)

где для всех означает, что работник назначен на работу , а есть относительная эффективность каждого исполнителя с точки зрения выполнения им каждого вида работ.

Такое математическое представление модели требует, чтобы каждый исполнитель был назначен на одну и только на одну работу и соответственно на каждую работу должен быть назначен один и только один исполнитель. Сформулированная задача может быть решена с помощью типового алгоритма решения задачи о назначениях или задачи транспортного типа.

Для специалиста, использующего эту модель в реальных ситуациях, наиболее трудным моментом является определение соответствующей целевой функции и, следовательно, соответствующей схемы получения оценок величины . При выборе целевой функции возможно несколько подходов:

1. Максимизация суммы оценок назначений, т. е. требуется найти максимум целевой функции

. (3)

В этом случае величина должна непосредственно выражаться через такие важные для организации показатели, как время выполнения работы, издержки производства, объем выпуска в единицу времени и т. д. Однако довольно часто трудно осуществить это, так как каждое значение есть точечная оценка, при получении которой существенную роль играет фактор распределения ошибок. Более того, значение представляет собой прогнозируемую оценку показателей выполнения -й и работы -м исполнителем. Таким образом, этот подход основан на прогнозировании данных и не лишен недостатков и неопределенностей. Это может привести к тому, что результаты фактической работы организации при использовании назначений, полученных с помощью модели, могут существенно отличаться от тех, которые должны были бы быть при значениях , принятых в модели.

2. Максимизация вероятности успешного выполнения каждым исполнителем работы, на которую он назначен, т. е. требуется найти максимум целевой функции

, (4)

где есть вероятность того, что исполнитель , успешно выполнит работу .

Оценки вероятности того, что исполнитель с определенными характеристиками удовлетворительно выполнит каждую из работ, могут быть определены на основе статистических данных. Максимизация вероятности успешного назначения в целом на все работы осуществляется с помощью такого выбора исполнителей для каждой из работ, при которых достигается максимум произведения вероятностей успешного выполнения ими работы. Благодаря свойствам логарифмов целевая функция может быть выражена с помощью приведенной выше формулы. После введения понятия вероятность успеха или неудачи становится возможным рассмотрение других методов оценки значений и подходов к выбору целевой функции. Так, Вейл предложил следующие дополнительные подходы к выбору целевой функции.

3. Минимизация вероятности неуспешного в целом назначения па все виды работ, т.е. требуется найти минимум целевой функции

. (5)

4. Максимизация ожидаемого количества успешных назначений, т.е. требуется найти максимум целевой функции

. (6)

5. Минимизация ожидаемого количества неуспешных назначений, т.е. требуется найти минимум целевой функции

. (7)

Модели последовательного назначения исполнителей

В приведенных выше моделях предполагалось, что каждый исполнитель должен выполнить только одну работу, каждая работа поручается только одному исполнителю, и все работы распределяются одновременно. Однако на практике подобная ситуация встречается крайне редко, обычно имеются работы, выполнение которых еще никому не поручено, и назначение исполнителей в этом случае осуществляется постепенно, по мере поступления работ. Этот аспект задач назначения изучен относительно мало. Первые шаги в этом направлении были сделаны Дерманом, Либерманом и Россом. Авторы предположили, что имеется исполнителей для выполнения . работ, причем работы появляются в случайном порядке и исполнители этих работ назначаются также в случайном порядке. Подобная ситуация, в частности, характерна для ряда предприятий, на которых группы исполнителей формируются по мере необходимости (например, при появлении заказов на выполнение проектов и др.). После того как определенному исполнителю поручается выполнение той или иной работы, его кандидатура не рассматривается при последующих назначениях.

Далее, за выполнение каждой -й работы устанавливается денежное или какое-то иное вознаграждение , имеющее ценность , и для каждого исполнителя производится оценка вероятности выполнения им работы. При этом предполагается, что эта величина является характеристикой исполнителя и не зависит от характера -й работы, которую он выполняет, и, кроме того, учитывается, что . Это означает, что если, например, оценка вероятности успешного ведения дел менеджером равна 1,0, то он всегда выполняет свою работу, при значении вероятности равном нулю он всегда не выполняет свою работу, а при оценке вероятности, равной 0,5 шансы выполнения и невыполнения работы равны.

При условии организация должна стремиться к максимизации общего ожидаемого вознаграждения (дохода), т. е. требуется найти максимум целевой функции

, (8)

где , если -й исполнитель выполняет -ю работу.

На основании теоремы Харди авторы показали, что если известны функция совместного распределения , а также число работ и людей , которые еще должны получить назначение, и произведено упорядочение индивидуумов в соответствии с величинами то оптимальным следует считать такое назначение, когда исполнителю с соответствующей ему оценкой поручается выполнение работы, которая приносит доход , причем значение этого дохода должно находиться в -м интервале действительной числовой оси. Разбиение числовой оси на интервалы зависит от величины и распределения и не зависит от величины .

В сущности, этот алгоритм используется для реализации во времени следующего принципа управления: исполнителю с большей оценкой вероятности успешного выполнения им работы следует поручать работу с наивысшей оплатой, а исполнителю с более низкой оценкой — работу с наименьшей оплатой.

Рассмотрим пример.

Руководство крупной промышленной корпорации приняло решение о совершенствовании системы управления корпорацией. Пилотное исследование по вопросам совершенствования решено было провести в отделе планирования, который выполняет следующие виды работ:

1. Сбор информации для планирования.

2. Расчет и согласование со структурными подразделениями плановых заданий в планируемом периоде.

3. Контроль выполнения планов.

4. Оценка эффективности плановых решений.

Данные работы распределяются между работниками планового отдела, который состоит из 6 человек. В целях повышения надежности выполнения планового задания каждая работа должна выполнятся в коллективе не менее двух человек.

При этом минимальная загрузка работников выполняющих работу в группе должна быть не менее 10 %.

Вариант задания различается по трудоемкости (табл.1), резервам времени, которые могут использовать работники (табл.2), индивидуальным характеристикам конкретного коллектива работников в процентах выполнения норм (табл.3).

Таблица 1

№ п/п	Наименование блока управленческих работ	Трудоемкость в НТЧ (варианты)
1	Сбор информации для планирования	100	180	200	80	80
2	Расчет и согласование .	150	20	150	50	100
3	Контроль выполнения планов.	70	48	59	170	90
4	Оценка эффективности плановых решений.	40	35	45	100	120

,

Таблица 2

№ п/п	ФИО	Резервы времени (варианты)
1	Иванов	150	700	250	150	200
2	Петров	250	300	300	300	400
3	Сидоров	700	300	400	200	500
4	Седых	300	500	800	550	600
5	Русских	500	500	500	900	700
6	Акулинушкин	200	200	400	700	800

Таблица 3 (вариант1)

№ п/п	ФИО	1	2	3	4
1	Иванов	53%	13%	136%	150%
2	Петров	45%	127%	35%	61%
3	Сидоров	180%	94%	85%	58%
4	Седых	50%	77%	65%	43%
5	Русских	120%	30%	85%	65%
6	Акулинушкин	60%	75%	29%	23%

Таблица 3 (вариант 2)

№ п/п	ФИО	1	2	3	4
1	Иванов	20%	50%	100%	90%
2	Петров	80%	120%	35%	30%
3	Сидоров	35%	20%	85%	58%
4	Седых	60%	20%	50%	43%
5	Русских	80%	30%	85%	65%
6	Акулинушкин	120%	75%	60%	23%

Таблица 3 (вариант 3)

№ п/п	ФИО	1	2	3	4
1	Иванов	60%	20%	30%	50%
2	Петров	20%	80%	20%	100%
3	Сидоров	35%	120%	85%	58%
4	Седых	80%	150%	10%	20%
5	Русских	150%	20%	85%	35%
6	Акулинушкин	120%	75%	60%	23%

Таблица 3 (вариант 4)

№ п/п	ФИО	1	2	3	4
1	Иванов	50%	150%	30%	50%
2	Петров	20%	100%	20%	20%
3	Сидоров	35%	80%	20%	120%
4	Седых	120%	10%	10%	20%
5	Русских	150%	35%	20%	35%
6	Акулинушкин	90%	150%	10%	10%

Таблица 3 (вариант 5)

№ п/п	ФИО	1	2	3	4
1	Иванов	50%	150%	120%	50%
2	Петров	20%	50%	20%	20%
3	Сидоров	35%	80%	20%	120%
4	Седых	80%	10%	10%	20%
5	Русских	150%	35%	20%	35%
6	Акулинушкин	90%	150%	10%	10%

ЗАДАНИЕ

1. Провести анализ данной модели без условия выполнения каждой работы двумя исполнителями.

2. Провести анализ данной модели с условием выполнения каждой работы двумя исполнителями.

3. Сравнить полученные результаты.

УКАЗАНИЕ:

1. При распределении работ минимизировать сумму времени затраченного на выполнение всего блока работ всеми работниками.

2. Для выполнения условия о назначении на каждую работу группу не менее двух исполнителей ввести переменную:

а в ограничения учесть блок ячеек как

.

3. Минимальная загрузка основных исполнителей не менее 10% от работ учесть следующим условием.

Пусть - время, затраченное на выполнение работы работником .

Определим объем работ, выполняемый работником

где - индивидуальные характеристики работников планового отдела в % выполнения норм (табл. 3).

,

где - трудоемкость работ (табл.1).

Ограничение по времени

где - допустимый фонд рабочего времени работника (табл.2).

Учтем 10% - ограничение по минимальной загрузке. Для этого введем параметры , которые вычисляются по формуле

.

Тогда не отрицательность величины будет достигаться условием

4. Целевая функция данной задачи будет иметь следующий вид

.