- •Высшего профессионального образования
- •Высшая математика
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины (семестр 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Тема 1. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 3. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел II. Функции нескольких переменных.
- •Тема 4. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 6. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •2.2. Практические занятия, их содержание.
- •Тема 1. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 3. Функция -переменных. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.
- •Тема 4. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •2.3. Виды самостоятельной работы студентов.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы (семестр 2).
- •Раздел I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел II. Функции нескольких переменных.
- •5.2. Вопросы к экзамену (семестр 2).
- •Раздел I..Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел II. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 3. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •3.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •3. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •3.4 Построение графиков функций.
- •Тема 4. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •5.2 Элементы теории поля. Производная по направлению и градиент.
- •5.3 Неявные функции.
- •Тема 6. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •6.3 Основные математические формулы. Формулы сокращённого умножения:
- •Формулы тригонометрии:
- •Формулы приведения.
- •Значения тригонометрических функций некоторых углов.
- •Элементарных функций.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
1.1-30. Найти производную :
а) ; б) ; в)
Нахождение производной функции заданной явно, с помощью правил дифференцирования:
(), , , , , , , сводят к нахождению табличных производных.
Производную функции заданной параметрическими уравнениями находят в параметрическом виде по формуле .
Решение.
а) , где
=;
Тогда .
б) , где
.
.
Тогда
.
в)
.
Ответ: а) б) .
в)
2.1-30. Найти а) производную функции , заданной параметрически; б) производную функции , заданной неявно.
а) Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле , где
;
.
Тогда .
б) Уравнение неявно определяет функцию . Дифференцируя его по x, получим: .
Выразим
;
.
Ответ: а) б) .
3.1-30. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
а); б) ; в) .
Вычисление предела, где , всегда начинают с подстановки в предельного значения её аргумента . Если в результате получают неопределённость или , то для её раскрытия применяют правило Лопиталя: , где и- функции, дифференцируемые в окрестности . В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида: , , , , путём преобразований: ,, сводят к раскрытию неопределенностей вида или .
Решение.
а) , где
,
Тогда .
б) , где
,
.
Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз:, где
,
=.
Тогда .
в) . Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду , после чего применим правило Лопиталя. Получим
=, где
,
.
Тогда .
Применяем правило Лопиталя ещё раз:
, где ,
.
В итоге получим .
Ответ:
а); б);в).
4.1-30. Для указанной функции требуется провести полное исследование функции и построить её график:
;
Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения функции;
2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;
3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5) найти асимптоты графика функции;
6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;
7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Решение.
1) Находим область определения функции: =).
2) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:
, ,
, .
Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.
3) Функция не является периодической.
Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.
Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции =) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.
4) Находим точки пересечения графика с осями координат.
Так как , то точек пересечения графика с осью нет.
Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка - точка пересечения графика с осью .
5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции .
Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .
Вычисляем сначала пределы при : ,.
В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:
Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .
Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .
6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:
и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:
;
не существует при и .
Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка .
Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
возрастает |
возрастает |
|
убывает |
убывает |
Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на «», то точка является точкой локального максимума и .
7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:
и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которыхилине существует:, так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и .
Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба.
Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
график вогнутый |
график выпуклый |
график вогнутый |
Точек перегиба нет.
8)На основании полученных результатов строим график функции (рис.3)
Рис.3.
Ответ: Рис.3.
5.1-30. Для указанной функции требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке :
, .
Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.
1) Находим первую производную функции:
и определяем внутренние критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:
, точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции на отрезке является точка .
2) Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , .
3) Сравниваем значения , , и находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке :
, .
Ответ: ,
6.1 – 30. Для указанной функции требуется: а) найти полный дифференциал ; б) вторую частную (смешанную) производную ; если .
Полный дифференциал функции имеет вид .
Частные производные функции вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что если производная берётся по аргументу (аргументу ), то другой аргумент (аргумент ) считается постоянным.
Решение.
а) Находим частные производные первого порядка и функции
:
;
.
Тогда полный дифференциал функции имеет вид:
.
б) Вторую частную производную (или кратко ) находим как первую частную производную по аргументу от функции :
.
Ответ: а), б) ;
7.1 – 30. Для функции, заданной неявно, найти частные производные и .
Для функции , заданной уравнениемсправедливы формулы:,, при условии.
В данном примере . Найдем частные производные функции :
;
;
;
Тогда, учитывая что ,, получим:
;
Ответ: а) , б) .
8.1 – 30. Найти локальные экстремумы функции
.
Для нахождения локальных экстремумов дифференцируемой функции необходимо: 1) Найти область определения функции. 2) Найти первые частные производные и функции. 3) Решить систему уравнений (необходимое условие экстремума) и найти точки (с учётом возможных дополнительных ограничений на значения аргументов и ) возможного локального экстремума функции. 4) Найти вторые частные производные , , ; составить выражение и вычислить значения и в каждой точке возможного экстремума. 5) Сделать вывод о наличии экстремумов функции , используя достаточное условие экстремума: если , то в точке экстремума нет; если и , то в точке - локальный минимум; если и , то в точке - локальный максимум; если , то требуется дополнительное исследование точки (например, по определению). 6) Найти локальные экстремумы (экстремальные значения) функции.
Решение.
1) Находим область определения функции .
2) Находим первые частные производные и :
;
.
3) Составим систему уравнений и решим её. Получим четыре решения: , , , . Из них точками возможного экстремума функции в области являются только две точки: и .
4) Находим вторые частные производные:
;
;
,
составляем выражение и вычисляем:
; , .
5) Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как:
, то в точке экстремума нет;
,, то в точке - локальный минимум.
6) Находим локальный минимум
.
Ответ: .
9.1–30. Найти условные экстремумы функции при условии .
Для нахождения методом Лагранжа локальных экстремумов дифференцируемой функции при условии необходимо: 1) Найти область определения функции. 2) Составить функцию Лагранжа , где - неопределённый постоянный множитель Лагранжа. 3) Решить систему уравнений (необходимое условие условного экстремума) и найти точки возможного условного локального экстремума и соответствующие им значения множителя Лагранжа. 4) Найти выражение второго дифференциала функции Лагранжа в точках при условии, что и связаны уравнением . 5) Сделать вывод о наличии экстремумов функции при условии , используя достаточное условие условного экстремума. Если для всех , (одновременно), связанных уравнением , , то в точке - локальный максимум; если , то в точке - локальный минимум. Если принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке экстремума нет. 6) Найти локальные условные экстремумы функции .
Решение.
1) Находим область определения функции .
2) Составляем функцию Лагранжа: .
3) Записываем необходимое условие условного экстремума ,
где: ,
. Получим . Решая систему, находим две точки возможного условного экстремума функции в области и соответствующие им значения множителя Лагранжа : при и при .
4) Находим выражение второго дифференциала функции Лагранжа
.
Вычисляем при условии , учитывая, что:
;
.
Получим:
;
.
5) Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как для всех : , то в точке - условный локальный минимум;
, то в точке - условный локальный максимум.
6) Находим условные минимум и максимум функции при условии :
,
Ответ: , при условии .
10.1–30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
в области D:
Функция , дифференцируемая в ограниченной замкнутой области , достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках , или в точках границы области . Для их нахождения необходимо: 1) Найти все стационарные точки функции и вычислить в них значения функции . 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе , задаваемой одним аналитическим выражением в явном виде или . Если , где задаются одним аналитическим выражением в явном виде, то находят наибольшие и наименьшие значения и функции на каждом из участков границы. 3) Сравнить значения функции , , и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения функции в области .
Решение. Изображаем область (она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми ,,), находим стационарные точки функции , решая систему уравнений
, и вычисляем в них значения функции .
Учитывая, что: , , получим . Отсюда , и, следовательно, единственной стационарной точкой функции в области является точка .
Вычислив значение функции в этой точке, получим .
2) Границу области представляем в виде , где :,; :,; :, и находим наибольшие и наименьшие значения функции на каждом из участков границы: ,, ,, , .
На участке :,: . Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отыскания находим первую производную функции: и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках (таких точек нет) и на концах отрезка : , . Сравнивая значения , находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : , .
На участке:,: . Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отыскания находим первую производную функции: и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , . Сравнивая значения , , находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : , .
На участке :,: . Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отыскания находим первую производную функции: и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , . Сравнивая значения ,, находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : ,
3) Сравнивая значения функции , , , , , , , делаем вывод, что , .
Ответ: , .
11.1 – 30. Найти: а) координаты градиента функции в точке ; б) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением в точке .
Решение.
Градиент находится по формуле
а) Найти градиент функции в точке P(1,1,1). В данном случае .
Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке:
;
.
Итак,
Ответ: а)
б)
Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной неявным уравнением , в точкеимеет вид: , а уравнение нормали –вид .
Решение.
Запишем уравнение поверхности в виде, т.е. . Подставим значения частных производных функции , найденные в п.а) в уравнения касательной:
;
-уравнение нормали:
.
Ответ: а) Уравнение касательной плоскости:;
уравнение нормали: .