2. Содержание и структура дисциплины (семестр 2).

2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).

Раздел I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Тема 1. Производные и дифференциалы функции одной переменной.

Приращение функции. Определение производной, её геометрический смысл. Правая и левая производные. Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь между дифференцируемостью, существованием конечной производной и непрерывностью функции. Дифференциал функции. Простейшие правила дифференцирования (постоянной; суммы, разности, произведения и частного функций). Дифференцирование обратной и сложной функции. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной неявно и параметрически. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Уравнения касательной и нормали.

Литература: [2]–C.66-114; [6]–C.104-127; [9]–C.161-191.

Тема 2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их следствия. Правило Лопиталя, его применение для раскрытия неопределённостей. Формулы Тейлора и Маклорена, их применение в приближённых вычислениях. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Литература: [2]– C.124-141; [6]–C.127-140; [9]–C.192-200; 213-217.

Тема 3. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.

Схема проведения полного исследования функции. Возрастание и убывание функции, нахождение участков монотонности функции. Стационарные и критические точки функции. Локальные экстремумы функции, условия их существования и нахождение. Глобальные экстремумы функции на отрезке, их нахождение. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба, условия их существования и нахождение. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, условия их существования и нахождение. Построение графика функции.

Литература: [2] – C.145-175; [6] – C.140-151; [9]–C.200-213.

.

Раздел II. Функции нескольких переменных.

Тема 4. Основные понятия о функции нескольких переменных.

Понятия -мерной точки, -мерного арифметического пространства . Множества точек в . Окрестность точки. Классификация точек. Открытые и замкнутые, связные, выпуклые множества точек. Понятие функции переменных. Область определения и график функции. Линии и поверхности уровня. Понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных (ФНП). Свойства ФНП, непрерывных в ограниченной замкнутой области.

Литература: [2]–C.230-238;257-258; [6]–C.275-284; [9]–C.304-307.

Тема 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.

Полное и частные приращения функции. Частные производные первого и высших порядков, их вычисление. Понятие дифференцируемости ФНП в точке, условия дифференцируемости. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Полные дифференциалы ФНП первого и высших порядков, их вычисление. Применение первого дифференциала в приближённых вычислениях. Дифференцирование сложной функции Неявная функция, условия её существования и дифференцируемости. Производная по направлению и градиент скалярного поля.

Литература: [2] – C.238-257; [6] –C.284-299; [9]–C.308-319.

.