- •1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу 3; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.
- •3. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел
- •9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
- •10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
- •13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
- •14. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.
- •15. Дайте определение убывающей послед-и. Что можно сказать о пределе убывающей послед-и, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.
- •17. Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.
- •32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?
- •34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.
- •40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.
- •41. Дайте опред и сформул необх усл лок экстремума ф-ии одной переменной. Прив прим ф-ии, для котор это усл выполнено в нек т, но экстремум отсутствует.
- •45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.
- •62. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (X, y) степени 3, не являющейся рациональной функцией.
- •70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в r2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
- •71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u , V . R2 является выпуклым множеством.
- •73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?
- •77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.
- •82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.
- •83. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций f (X) и g(X) справедливо равенство
- •91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ряда
- •92. Рассмотрев последовательность частичных сумм ряда, докажите, что при ряд расходится.
- •93. Может ли ряд cходиться, если ряд сходится, а ряд
- •96. Докажите, что для сходимости ряда n, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
- •97 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •98 Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сход ряда с положит членами, к кот этот признак применим.
- •100 Сформулируйте признак Лейбница для знакочеред числовых рядов. Приведите пример знакочеред ряда, сход условно.
- •114 Дайте определение лин дифф ур 2 ого порядка. Док-те, что если y1(X) и y2(X) решения лнду, то их разность y1(X)-y2(X) явл решением соответ дифф Ур-я.
70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в r2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
Множество точек М называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками А и В, принадлежащими М, оно содержит весь отрезок АВ.
71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u , V . R2 является выпуклым множеством.
Пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множества.
Пусть F=U∩V. Пусть точки А и В принадлежат F.
Т.к. А принадлежит U и В принадлежит U, следовательно, весь отрезок АВ принадлежит U.
А принадлежит V и В принадлежит V, следовательно, АВ принадлежит V.
Следовательно [AB] принадлежат U ∩ V, следовательно F – выпуклое.
72. Дайте определение выпуклой функции нескольких переменных. Докажите, что если функции f (x) и g(x), определенные на выпуклом множестве X Rn , являются выпуклыми, то их сумма f (x) + g(x) –также выпуклая функция.
Пусть функция z=f(x)=f(x1….xn) определена на выпуклом множестве D, тогда функция z=f(x) называется выпуклой на D, если для любых 2-х точек из множества D для любой α, β принадлежащих [0,1] таких, что α+β=1,выполняется неравенство: f(αA+βB)≤αf(A)+βf(B).
Пусть a,b ∈X, α∈[0,1]
f(αa+(1-α)b)≤αf(a)+(1-α)f(b)
g(αa+(1-α)b)≤αg(a)+(1-α)g(b)
Пусть h(x)+g(x) (x∈X) - сумма функций f и g.
Сложим неравенства:
h(αa+(1-α)b)≤αh(a)+(1-α)h(b), означающее выпуклость функции h(x). Если хотя бы одно из неравенств является строгим, то сумма их также является строгим, что доказывает строгую выпуклость h(x), когда хотя бы одна из выпуклых функций f(x) или g(x) является строго выпуклой
73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?
Функция F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений xєX выполняется равенство F’(x)=f(x).
Да, может. Пример:
Первообразная для f(x)=1/x2 F(x)=-1/x+C – в точке x=0
74. Докажите, что если F1(x) и F2 (x) - первообразные функции f (x) на интервале X , то F2 (x) = F1(x) + C , где C - некоторая постоянная.
Теорема: любые две первообразные для данной функции отличаются только постоянным слагаемым.
Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем F1’(x)=f(x) и F2’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x).
Составим разность F2(x) - F1(x) и найдем производную этой разности.
(F2(x) - F1(x))’= F1’(x)- F2’(x)=f(x) – f(x)=0
Нулю равна только производная константы. Значит F2(x)- F1(x)=С или F2(x)=F1(x)+С, где С - некоторая постоянная.
75. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство . ( f (x) + g(x))dx = . f (x)dx + . g(x)dx?
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то совокупность первообразных F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Теорема: неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.
Доказательство. Дифференцируя левую часть равенства, получим:
(∫(f(x)+g(x))dx)’=f(x)+g(x),
производная правой части
(∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)’=(∫f(x)dx)’+(∫g(x)dx)’=f(x)+g(x)
Производные равны, значит мы получили верное равенство, значит ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.
76. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,что d(. f (x)dx)= f (x)dx.
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
(∫f(x)dx)’=f(x)
(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x)
d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.
∫dF(x)=F(x)+C
3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k≠0, то
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx+∫ f2(x)dx