- •1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу 3; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.
- •3. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел
- •9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
- •10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
- •13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
- •14. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.
- •15. Дайте определение убывающей послед-и. Что можно сказать о пределе убывающей послед-и, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.
- •17. Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.
- •32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?
- •34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.
- •40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.
- •41. Дайте опред и сформул необх усл лок экстремума ф-ии одной переменной. Прив прим ф-ии, для котор это усл выполнено в нек т, но экстремум отсутствует.
- •45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.
- •62. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (X, y) степени 3, не являющейся рациональной функцией.
- •70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в r2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
- •71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u , V . R2 является выпуклым множеством.
- •73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?
- •77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.
- •82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.
- •83. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций f (X) и g(X) справедливо равенство
- •91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ряда
- •92. Рассмотрев последовательность частичных сумм ряда, докажите, что при ряд расходится.
- •93. Может ли ряд cходиться, если ряд сходится, а ряд
- •96. Докажите, что для сходимости ряда n, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
- •97 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •98 Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сход ряда с положит членами, к кот этот признак применим.
- •100 Сформулируйте признак Лейбница для знакочеред числовых рядов. Приведите пример знакочеред ряда, сход условно.
- •114 Дайте определение лин дифф ур 2 ого порядка. Док-те, что если y1(X) и y2(X) решения лнду, то их разность y1(X)-y2(X) явл решением соответ дифф Ур-я.
62. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (X, y) степени 3, не являющейся рациональной функцией.
Пусть D из Rn – область в Rn, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 функция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).
Пример однородной функции степени 3:
F (x,y)=x2
F (tx, ty)=t2x2√(tx*ty)=t3 F (x,y)
63. Докажите, что если однородная степени . функция f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ), то выполнено равенство x0 fx.(x0 , y0 ) + y0 f y.(x0 , y0 ) =. f (x0 , y0 ).
f (tx,ty)=tλf(x,y)
Продифференцируем левую и правые части этого равенства по t. В результате приходим к тождеству:
F’x(tx, ty)x+F’y(tx, ty)y=λtλ-1f(x,y)
Положив здесь t=1,олучим формулу Эйлера:
F’x(x, y)x+F’y(x, y)y=λf(x,y)
64. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функции в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке?
Пусть z=f(x;y) определена в некоторой области D и точка М(х0;у0) – внутренняя точка D (М принадлежит D), тогда данная функция в данной точке будет иметь локальный минимум (максимум), если найдется - окрестность точки М, что для всех внутренних точек этой окрестности, отличных от М(х0;у0) выполняются неравенства:
f(x;y)>f(х0;у0) – min
f(x;y)<f(х0;у0) – max
65. Имеет ли функция f (x, y) = x2 y4 локальный экстремум в точке (0,0)?
Mo(xo,yo) – точка локального min (max)
Для любой M(x,y) из окрестности f(Mo)≤f(M) (f(Mo)≥f(M))
f(x,y)=x 2y4 Mo(0,0)
M(Δx, Δy)
f(Mo)=f(0,0)=0
f(M)= Δx2Δy4
f(M)-f(Mo)= Δx2Δy4-0= Δx2Δy4≥0
f(M) ≥f(Mo) для любого M(x,y) из окрестности Mo
Следовательно, Mo(0,0) – точка локального min
66. Имеет ли функция f (x, y) = x y2 локальный экстремум в точке (0,0)?
f(x,y)=xy2 Mo(0,0), M(Δx, Δy)
f(0,0)=0, f(M)= ΔxΔy2
f(M)-f(Mo)= ΔxΔy2
f(M)-f(Mo) ≥0 если Δx≥0 ➽ Mo(0,0) не является точкой
f(M)-f(Mo)≤0 если Δx≤0 локального экстремума (по определению)
67. Докажите, что функция f (x, y) = x2 + y2 : а) не имеет локального экстремума в точке (1, 1), б) имеет в этой точке условный локальный экстремум при наличии связи x + y = 2.
Функция f(x,y)=x2+y2
а) F’x=2x
F’y=2y
В точке (1,1) первые производные данной функции не обращаются в ноль, следовательно точка (1,1) не является точкой локального экстремума (не выполняется необходимое условие).
б) Дано уравнение связи x+y=2.
Запишем функцию Лагранжа:
L(x,y)= x2+y2+λ(x+y-2)
L’x=2x+λ x=y x=1
L’y=2y+λ ⃗ 2x=2 ⃗ y=1
L’λ=x+y-2
Следовательно, точка (1,1) является условным экстремумом данной функции при наличии связи.
68. Дайте определение линии уровня функции f (x, y). Рассмотрев множество линий уровня функции f(x, y) = xy, выясните, в каких точках прямоугольника D = {(x, y) | 3 x 6, 4 y 6} она принимает наибольшее и наименьшее значения, и найдите эти значения.
Линией уровня функции z=f(x,y) называется такая линия f(x,y)=c на координатной плоскости, в точках которой функция f(x,y) принимает постоянное значение z=с.
Множество линий уровня функции f(x,y)=xy:
y=c/x – множество гипербол.
D={(x,y)〡3≤x≤6, 4≤y≤6}
f(x,y)=xy
f’ x=y ⇒ y=0
f’ y=x x=0
I Найдем стационарные точки внутри области:
(0,0) не является стационарной точкой, т.к. не принадлежит области
II. Найдем стационарные точки на границе области:
а) x=3
z=3y
z’y=3 – не явл. стационарной точкой
б) x=6
z=6y
z’y=6 - не явл. стационарной точкой
в) y=4
z’x=4 - не явл. стационарной точкой
г) y=6
z’x=6 - не явл. стационарной точкой
III Найдем угловые точки области:
A(3,4), B(6,3), C(6,6), D(4,6)
Z(3,4)=12 – наименьшая точка
Z(6,3)=18
Z(4,6)=24
Z(6,6)=36 – наибольшая
69. Сформул осн св-ва непрерывных ф-ий, заданных на замкнутом ограниченном множестве в R2 . Найдите наибольшее и наим значения функции f (x, y) = x2 + y2 на множестве
D = {(x, y) | (x -5)2 + y2 4}.
Свойства непрерывных функций:
-
Если функция u=f(М) определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M} точек Евклидова пространства Rn , то она ограничена на этом множестве, т.е. существует такое с>0, что для любых точек М, принадлежащих {M} выполняется неравенство |f(M)|<c.
-
Если функция u=f(М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она достигает на этом множестве своих верхних и нижних граней множества.
-
Если функция u=f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она принимает все промежуточные значения между своими min и max значениями.
-
Результатом алгебраических операций непрерывных функций являются непрерывные функции.
f(x,y)=x2+y2
а) D={(x,y)〡(x-5)2+y2≤4} – круг с центром в (5,0) и радиусом 2 – компакт
б) f’x=2x x=0 ⇒ не принадлежит области
f’y=2y y=0
в) (x-5)2+y2=4
y2=4-(x-5)2
z=x2+4-( x2-10x+25)
z= x2+4- x2+10x-25
z=10x-21
z’=10 – не имеет стационарных точек на границе