96. Докажите, что для сходимости ряда n, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Теорема. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из свойств пределов следует, что последовательность частичных сумм ограничена. Достаточность. Поскольку все члены данного ряда положительны и для любого n , то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Однако известно, что ограниченная сверху монотонная последовательность имеет предел.

97 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера: Пусть дан ряд ∑а_n при n= (1; ∞) c положительными членами и сущ. lim= a_{n+1 ÷} a_n =d. Тогда А) при d< 1 ряд сходится; б) d > 1 ряд расходится.

Док - во: а). Пусть lim Аn+1÷An = d (при n стремится к ∞). Для любого E>0 сущ N≥n и │An+1÷An - d│< E/

-E< An+1÷An< E+d

d-E<An+1÷An<E+d. Возьмем Е таким, чтобы d+E<1, тогда d+E=q , следовательно, An+1÷An<q → An+1<q*An

A2<A1*q

A3<A2*q = A1*q²

A1<A3*q = A1*q³

(1) (2)

эта система бесконечно убыв прогрессия

An+1<An*q<A1*qⁿ

Члены ряда (1) меньше членов ряда (2), а (2) сходится и в силу 1ого признака сравнения (1) ряд тоже сходится.

Б) lim An+1÷ An=d

│An+1÷An -d│< E

-E<An+1÷An -d<E

d-E<An+1÷An<E+d

Пусть Е будет таким, что d-E>1, d-E=q → An+1÷An> q → An+1>An*q → An+1> An→ Общий член послед не стремится к нулю, следовательно, ряд расходится.

98 Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сход ряда с положит членами, к кот этот признак применим.

Если для знакополож ряда сущ конечный или бесконечный предел отнош последующ члена ряда к предыдущему при n→∞, то ряд сходится, если lim<1.

Пример: 2/1+2²/2+2³/3+…+2ⁿ/n+…

An=2ⁿ/n

An+1=2ⁿ⁺¹/n+1

Lim 2ⁿ⁺¹*n/n+1*2ⁿ=2lim n/n+1=2>1 ряд сходится!!!

99 Дайте определение гармонического ряда. Док-те, что гарм ряд расходится.

1=1/2+1/3+…+1/n+…=∑1/n при n =(1;∞) такой ряд называют гармоническим рядом. Для гарм ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как lim An=lim1/n=0 при n→∞. Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели lim( S_2n-S_n)= lim S_2n-limS_n=S-S=0. Но S_2n-S_n=1/n+1+1/n+2+…1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+…1/2n=n*1/2n=1/2,т.е. S_2n-S_n>1/2. Отсюда следует, что равенство lim(S_2n-S_n)=0 невозможно, т.е. гармонический ряд расходится.

100 Сформулируйте признак Лейбница для знакочеред числовых рядов. Приведите пример знакочеред ряда, сход условно.

Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов знакочеред ряда (A1-A2+A3-A4+…+(-1)ⁿ⁺¹*An+…) монотонно убывают: A1>A2>A3… и общий член ряда стремится к нулю: lim An=0, то ряд сходится.

Пример: 1-1√2+1√3-1√4+…условно сход ряд, так как сам он сходится по признаку Лейбница. А ряд, составленный из абсолютных величин 1+1√2+1√3+1√4+…, расходится.

Пример:- знакочередующийся ряд. Убедимся, что модуль общего члена монотонно убывает:

>1 для всех п. Далее, . Таким образом, по признаку Лейбница данный ряд сходится. Продолжим исследование модуля общего члена данного ряда. Сравним его с общим членом гармонического ряда. Имеем . Следовательно, данный ряд, как и гармонический, расходится. Окончательно можно утверждать, что данный ряд сходится условно.

104 Док-те, что ф-ция f (x)=e^x разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

F’(x)=e^x…fⁿ(x)=e^x…f⁽ⁿ⁾(x)=e^x

Xo=0, f(Xo)=F’(Xo)=f⁽ⁿ⁾(Xo)=…f⁽ⁿ⁾=1

F(x)=f(Xo)+f’(Xo)*(X-Xo)/1!+f’’(Xo)(X-Xo)²/2!+…f⁽ⁿ⁾(Xo)*(X-Xo)ⁿ/n!

E^x=f(x)=1+X/1!+X²/2!+….Xⁿ/n!

Радиус сх-ти признак Даламбера

R=lim│(n+1)!/n!│=lim │n+1│=∞ при n→∞ - ряд сходится на всей чмсловой прямой для люб X принадлежит R.

│f⁽ⁿ⁾(X)│=e^x<e^R→ e^R=M→limR_n(X)=0 → ряд сходится к e^x.

103 Сформулируйте достаточное условие разложимости ф-ции в ряд Маклорена. Док-те, что ф-ция f(X)=sinX разлаг в ряд Маклорена на люб интервале (-а;а).

Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х(-R, R)=> <M, n=0,1,2,… , то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x).

F’(X)= cos X =sin(X+∏/2)

F’’(X)=-sin X = sin( X+2∏/2)

F’’’(X)=-cos X= sin( X+3∏/2)

……………………………….

F⁽ⁿ⁾(X)=sin (X+n*∏/2)

Xo=0,f(Xo)=0,F’(Xo)=1, F”(Xo)=0

F⁽ⁿ⁾(Xo)=sin(∏*n/2)= n=0,2,4,…,то =0

n=1,5……,то =1

n=3,7,11.., то =-1

sin X → X-X³/3!+X⁵/5!+…(-1)ⁿ*X²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

Ряд будет сход для люб X, производные ограниченные: │F⁽ⁿ⁾(X)│≤1 │sin X+(n*∏)/2∏│≤1.

111 Сформулируйте теор о сущ и ед-нности решений задачи Коши для yр-я y’=f(x;y). Проверьте выполняется ли условие этой теоремы для задачи y’=5y+7x, y(0)=0/

Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши: Если в ур-нии y’=f(x;y) a-ф-ция f(x;y) и частные производные f’_y(x;y) непрерывны в некотор. Обл d содержит точку (Xo;Yo), то сущ единственное решение y=β(X) этого ур удовл начальному условию Y(Xo)=Yo.

112 При каких усл решения задачи Коши y’=f(x;y), y(Xo)=Yo, сущ и единственно? В каких точках (Xo;Yo) эти условия выполняются для ур-я Y’=⁷√y ?

Если ф-ция f(X) непрерывна и f ‘ _y непрерывна, тогда f(x;y)=⁷√y –непрерывна.

F’_y=1/7*⁷√y⁶, имеет точку разрыва y=0, т.е. ф-ция непрерывна при всех значениях. Кроме y=0- это особое решение и во всех точках оси ОХ будут особые решения.

Dy/dx=⁷√y→ dy/⁷√y=dx→ ∫dy/⁷√y=∫dx

Y^6/7*7/6=X+C

Y=⁷√6*(X+C)⁶/7 при Х=-С, у=0

В каждой точке (-С;0) проходят решения и у=0→нарушается единственность решений!!!