1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу 3; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.

Число а называется пределом числовой послед-и {Xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N из множества Ñ такой, что для любого n ≥ N выполняется неравенство: | Xn – a | < ε

√ ε > 0, сущ. N є Ñ, √ n ≥ N => | Xn – a | < ε

А) Xn = (3n+1)/n, lim (n→∞) (3n+1)/n = 3

б) Xn = (-1)ⁿ - ограничена (-1), не имеет предела

2. Докажите, исходя из определения предела послед-и, что lim (n→∞) 2n/n+4 = 2.

| Xn – a | < ε

|2n/n+4 - 2| < ε, |-8/n+4| < ε, 8/n+4 < ε, n+4/8 >1/ε, n > (8 - 4ε)/ε, N = [8/ε - 4] +1

3. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел

От противного Предп, что некоторая послед-ь {Xn} имеет 2 разл предела а и b, a ≠ b.

Выберем столь малые окрестности т. a и b, чтобы они не имели общ точек. Т.к. lim Xn = a, все Xn, начиная с нек номера n1, содержатся в выбран окрестности т. а;

точно так же из lim Xn = b, следует, что все Xn, начиная с нек номера n2, содержатся в выбранной окрестности т. b. Положим, n0 = max {n1, n2}. Тогда числа Xn с номерами n≥ n0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек.

4. Докажите ограниченность сход послед-и

док-во:

Пусть lim Xn = a. Положим ε = 1 и найдем номер n0, начиная с которого | Xn – a | < 1, т. е. -1>Xn – a<1 для n≥ n0. Отсюда следует а-1>Xn<а+1 для всех n≥ n0. Заменим отрезок [а-1; а+1] таким отрезком [А;В], чтобы в него попали не только числа Xn, n≥ n0, но и все числа х1, х2,…хn0. Тогда будем иметь хn є [А;В] для всех n є N, что означает ограниченность множества {Хn}.

5. Дайте определение послед-и, ограниченной снизу. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02

Послед-ь называется ограниченной снизу, если существует число m, такое, что любой элемент Xn этой послед-и удовлетворяет неравенству Xn ≥ m.

Предел послед., огранич. снизу числом 6, не может быть равным 5,98, но может быть равным 6,02, так как мы можем брать только числа большие 6 (Xn ≥ 6).

6. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.

1) Алгебраическая сумма двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен сумме пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.

lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn + Уn) = a + b.

2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.

bn = (-1)^(n+1): 1; -1; 1; -1…- расход.

lim (n→∞) (an + bn) = 0

7. Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.

1) Произведение двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен произведению пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.

lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn * Уn) = a * b.

2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.

bn = -1/2, 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4: (-n/ n + 1)ⁿ

lim (n→∞) (an * bn) = 1 – сход. (1/2, 1/2, 2/3, 2/3…).

8. Может ли послед-ь {Xn + Yn} сходиться, если послед-ь {Xn} сходится, а послед-ь {Yn} расходится? Ответ обоснуйте.

нет, не может: С + ∞ = ∞

Xn = (1/2)ⁿ: 1/2, 1/4…

Yn = (-1)ⁿ: -1, 1..

-1 + ½ = -1/2; -1 + 1/8 = -7/8 – сход. к (-1)

1 + ¼ = 1 ¼; 1 + 1/16 = 1 1/16 – сход. к 1

{Xn + Yn} – расход.