114 Дайте определение лин дифф ур 2 ого порядка. Док-те, что если y1(X) и y2(X) решения лнду, то их разность y1(X)-y2(X) явл решением соответ дифф Ур-я.

Определение: уравнение вида: у^,,+р(х)у^,+q(х)у=f(x) , где у - искомая функция, р(х), q(х) и f(x) – непрерывные функции на некотором интервале (a, b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл

Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл

Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл

Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.

115 Дайте опред лин независ. системам ф-ций. Док-те исходя из определения лин независимости y=1 , y=x, y=x² на R?

Фун-ции Y1(X) u Y2(X) назыв линейно независимыми на (а;в), если не сущ таких чисел с1 и с2, их которых хоть одно отлично от нуля, что для любого Х принадлежащего (а;в) имеет место равенство с1У1(Х)+с2У2(Х)=0.

y_1, y _2, …, y_k.

c₁ y₁+c₂ y ₂+…+ c_k y _k=0 для любого хD.

у=1, у=х, у=х² на R

c₁ 1+c₂ х+c₃ х²=0 для любого х R

Продифференцируем дважды:

c₂ +2c₃ х=0

2c₃=0

c₁+c₂ х+c₃ х²=0 c₁=0

c₂ +2c₃ х=0 c₂=0 у=1, у=х, у=х² – л.н.з.

2c₃=0 c₃=0

№116. Док-те лин независимость сист ф-ций у=1, у=х, у=е^3х на R, рассм опред Вронского.

y=1, y=e^x, y=e^3x на R

Чтобы доказать, что эти функции л.н.з., нужно:

1. доказать, что они являются решением дифференциального уравнения;

2. проверить, что их определитель Вронского отличен от нуля.

₁=0, ₂=1, ₃=3.

(-1)( -3)=0

(²-4+3)=0

³-4²+3=0

y^,,,-4 y^,,+3y^,=0

1 e^x e^3x e^x 3e^3x

W(1, e^x, e^3x)= 0 e^x 3e^3x = 1 e^x 9e^3x = 9e^4x-3e^4x=6e^4x0 для любого х R.

0 e^x 9e^3x

№117. Дайте определение фундам сист реш лин однородного диф ур-а 2 ого порядка. Какой вид имеет общее решение такого ур-я?

Определение: система функций y₁(х)_, y ₂(х)_, …, y_n(х), состоящую из n линейно независимых решений уравнения L(y)=0, называется фундаментальный набор решений этого уравнения_.

Общее решение такого уравнения: y=C₁ y₁+ C₂ y₂+…+ C_n y_n.

№118. Найдите лин диф ур, для кот ф-ции у=е^2х и у=е^4х обр фундам сист реш?

y= e^2x, y= e^4x

y_общ.= c₁ e^2x+ c₂ e^4x

W(e^2x, e^4x)= e^2x e^4x = 2 e^6x 0 для любого х R

2e^2x 4e^4x

₁=2, ₂=4

(-2)( -4)=0

²-6+8=0

y^,,-6y^,+8=0.

№119. Дайте опред лин разностного ур-я 2 ого порядка. Док-те, что если Хn⁽¹⁾ и Хn⁽²⁾ реш лин разностного ур-я, то их разность Хn⁽¹⁾ - Xn⁽²⁾ явл соответственно реш однород ур-а.

Определение: уравнение вида: F(n, x_n, x_n+1, x_n+2)=0, где n – произвольное натуральное число, x_n, x_n+1, x_n+2 – члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением 2-го порядка.

x_n⁽¹⁾ и x_n⁽²⁾ – решение линейного однородного разностного уравнения, их разность (x_n⁽¹⁾ - x_n⁽²⁾) – решение соответ. Однородного уравнения.

a₂(n) x_n+2+ a₁(n) x_n+1+ a₀(n) x_n=f(n) (1),

a₂(n) ,a₁(n) ,a₀(n), f(n) – извест. функции натур. аргумента, a₂(n)0, a₀(n) 0.

a₂(n) x_n+2+ a₁(n) x_n+1+ a₀(n) x_n=0 (2).

Пусть x_n⁽¹⁾ и x_n⁽²⁾ – решения неоднородного разностного уравнения (1), т.е.

a₂(n) x_n+2⁽¹⁾+ a₁(n) x_n+1⁽¹⁾+ a₀(n) x_n⁽¹⁾= f(n) (3),

a₂(n) x_n+2⁽²⁾+ a₁(n) x_n+1⁽²⁾+ a₀(n) x_n⁽²⁾= f(n) (4).

(n)= x_n⁽¹⁾ и x_n⁽²⁾ – решение уравнения (2), если при подстановке в уравнение (2) является верным равенством.

Подставляем: a₂(n) (n+2)+a₁(n)(n+1)++ a₀(n)(n)= a₂(n)( x_n+2⁽¹⁾- x_n+2⁽²⁾)+ a₁(n) ( x_n+1⁽¹⁾-x_n+1⁽²⁾)+ a₀(n) (x_n⁽¹⁾- x_n⁽²⁾)=( a₂(n) x_n+2⁽¹⁾+ a₁(n) x_n+1⁽¹⁾ + a₀(n) x_n⁽¹⁾)-( a₂(n) x_n+2⁽²⁾+ a₁(n) x_n+1⁽²⁾ + a₀(n) x_n⁽²⁾)= f(n)- f(n)=0(n)- решение (2).

№120. Дайте опред лин разностного ур-я к-ого порядка . Каков порядок разностного ур-я 2Хn+Xn+2, выраж харак-кое св-во аримф прогрессии? Укажите общ реш этого ур-я.

Определение: уравнение вида: F(n, x_{n, …,}x_n+k)=0, где n – произвольное натуральное число, x_n, x_n+1,…, x_n+k – члены некоторой числовой последовательности, k - фиксир натур число, n – натур число.называется разностным уравнением порядка k.

2x_n+1= x_n+x_n+2 – порядок этого уравнения равен 2.

Общее решение этого уравнения: x_n=а₁+(n-1), где а₁ и=const.