3.8. Непараметрические гибриды решающих правил в задаче восстановления стохастических зависимостей

Неопределённость выбора функции невязки порождает проблемы в обоснованном применении той или иной разновидностей гибридных моделей, несмотря на имеющиеся рекомендации, полученные в результате аналитических исследований. Так, гибридная модели с функцией невязки типа разности хорошо зарекомендовала себя в случае аддитивных помех, накладываемых на переменные изучаемой зависимости. При мультипликативных помехах эффективно использовать невязку типа отношение. Отсутствие априорных сведений о характере случайных воздействий делает необходимым применение методов коллективного оценивания, что повышает эффективность гибридных моделей и позволяет дополнительно получить полезную информацию.

Пусть при восстановлении однозначной зависимости кроме выборки , известны частичные сведения (либо принимается гипотеза) (рис. 3.2) о виде преобразования с точностью до набора параметров .

Этапы формирования непараметрических гибридных решающих правил:

1. Построить параметрическую модель искомой зависимости и оценить компоненты вектора по выборке методом наименьших квадратов (см. пункт 3.2).

2. Используя различные виды невязок (3.37) сформировать выборки

, ,

, .

Значения невязок вычисляются на основании выборки по формулам:

, ,

, , .

3. Построить непараметрические оценки функций невязок по значениям выборок , например, используя непараметрическую регрессию (3.5) и оптимизировать их по коэффициентам размытости (см. пункт 3.3.3). Для одномерного случая ( - скаляр)

,

либо многомерного ( - многомерная случайная величина)

.

3. Сформировать промежуточную выборку, для которой аргументами будут является значения параметрической модели и непараметрические оценки функций невязок

,

где

.

Используя данную выборку построить обобщённое непараметрическое гибридное решающее правило

, (3.41)

оптимизация которого по коэффициентам размытости осуществляется с помощью метода «скользящего экзамена»

.

Структура предлагаемого непараметрического гибридного решающего правила при восстановлении многомерной стохастической зависимости представлена на рис. 3.11.

Рис. 3.11 Графическая иллюстрация структуры непараметрического гибридного решающего правила

Подобную методику построения непараметрических гибридных решающих правил (3.41) можно распространить на гибридные модели с учётом частных сведений о виде восстанавливаемой зависимости (3.40).

3.9. Последовательные процедуры формирования решений, основанные на учёте функций невязок

Пусть при восстановлении однозначной многомерной стохастической зависимости имеется обучающая выборка малого объёма. Наиболее эффективным направлением восстановления исходной зависимости в условиях малой выборки большой размерности является использование последовательных процедур принятия решений, что достигается путём разбиения исходной задачи на ряд взаимосвязанных более простых задач. Такая схема используется, например, в методе динамического программирования и методе группового учёта аргументов (МГУА).

С позиции последовательных процедур принятия решений рассмотрим модификацию МГУА с учётом на каждом этапе многоуровневого алгоритма оценок функций невязок частных непараметрических моделей.

Рис. 3.12. Структура непараметрического гибридного решающего правила, основанного на учёте функций невязок

Этапы формирования алгоритма:

1. Построить модель искомой зависимости относительно первого набора признаков , например с использованием непараметрической регрессии (3.5)

,

где - множество номеров признаков первой группы . Определить оптимальный набор коэффициентов размытости из условия минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации.

2. Сформировать выборку невязок , где значения можно формировать в соответствии с процедурами (3.39), например, воспользуемся выражением типа разность

.

3. Восстановить функцию невязок по выборке в пространстве набора признаков второй группы с помощью непараметрической регрессии

,

где - множество номеров признаков второй группы . Из условия минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации найти оптимальный набор коэффициентов .

4. Построить модель искомой зависимости по выборке

и определить оценки оптимальных коэффициентов и .

5. По аналогии с пунктом 2 сформировать выборку невязок , где значения можно формировать в соответствии с процедурами (3.39)

.

6. Оценить функцию невязок по выборке в пространстве набора признаков второй группы

,

где - множество номеров признаков третьей группы . Из условия минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации найти оптимальный набор коэффициентов .

7. По выборке построить обобщённую модель искомой зависимости

и определить оценки оптимальных коэффициентов и .

Разнообразие функций невязок (3.39) порождает множество модификаций последовательных процедур формирования решений, например рис. 3.13.

Рис. 3.13. Модификация непараметрического гибридного решающего правила, основанного на учёте разнотипных функций невязок (3.39)