3.6. Гибридные модели в задаче восстановления стохастических зависимостей

Пусть при восстановлении однозначной зависимости (3.19) кроме выборки , известны частичные сведения (либо принимается гипотеза) (рис. 3.2) о виде преобразования с точностью до набора параметров .

Увеличение объема априорной информации и требование наиболее полного ее использования в задаче восстановления позволяют расширить область применения принципов теории обучающихся систем. Один из эффективных подходов решения указанной проблемы состоит в предварительном исследовании аппроксимационных свойств параметрической модели зависимости путем организации вычислительного эксперимента на статистических данных V с формированием «рабочей» выборки . По полученной информации восстанавливается зависимость , представляющая собой функцию невязки между и с помощью непараметрической процедуры. Гибридная модель формируется как некоторая комбинация и , зависящая от введённого преобразования .

Выберем одно из предлагаемых преобразований:

, ,

, , (3.37)

тогда гибридная модель запишется соответственно в виде:

, ,

, . (3.38)

Построение параметрической модели зависимости по выборке и оценивание её параметров может быть осуществлено на основании хорошо разработанного аппарата многомерного регрессионного анализа (см. пункт 3.2).

Преобразование восстанавливается с помощью непараметрической регрессии (см. пункт 3.3):

,

по значениям .

При синтезе алгоритмов (3.38) формирование значений на основании выборки осуществляется по формулам

, ,

, , . (3.39)

Ядерные функции () в непараметрической регрессии соответствуют компонентам вектора x=(x₁, …, x₂) и удовлетворяют условиям положительности, нормированности и симметричности.

Кроме отмеченных выше преимуществ гибридных алгоритмов типа (3.38) следует отметить снижение требований к точности оценивания параметров  по сравнению с параметрическими моделями.

На рис. 3.10 наглядно показана информация о виде зависимости , представляющая собой кривую и выборка объёмом 10 точек, а также значения функции невязки .

Рис. 3.10 Графическая иллюстрация формирования выборки невязок для гибридной модели .

Исследование асимптотических свойств гибридных моделей. Рассмотрим задачу оценивания по выборке независимых и идентично распределенных случайных величин при известной плотности вероятности p(x).

Предположим, что p(x) ограничена и непрерывна со всеми своими производными до порядка m включительно, причем . Эти условия, накладываемые на p(x), обозначим через G_m .

Тогда справедлива

Теорема 3.3. Пусть: 1) (x), F(x, ) и p(x)0 в области определения y=(x) удовлетворяют условиям G₂; 2) функция (u)H и ; 3) последовательность коэффициентов размытости ядерных функций c=c(n)0 при n, а nc. Тогда гибридные модели , , обладает свойствами асимптотической несмещенности и состоятельности.

3.7. Синтез и анализ гибридных моделей стохастических зависимостей в условиях наличия их частного описания

Традиционные гибридные модели (см. пункт 3.6) сочетают в одном решающем правиле преимущество параметрических и непараметрических аппроксимаций. При этом единое решающее правило образуют параметрическая модель восстанавливаемой зависимости и непараметрическая оценка функции невязки, которые строятся в одном и том же пространстве переменных.

Особенность рассматриваемых модификаций гибридных моделей состоит в том, что искомая зависимость представлена обучающей выборкой и имеется её частное описание в ограниченном пространстве контролируемых признаков , . Для максимального учёта априорных сведений предлагается на основе принципов гибридного моделирования объединить в одном решающем правиле частное описание и информацию об искомой зависимости, содержащейся в обучающей выборке .

Актуальность рассматриваемой проблемы подтверждается перспективностью применения методики её решения при исследовании статических объектов в условиях наличия их частных описаний , где , - соответственно входные и выходные переменные. При появлении возможности контроля дополнительного набора компонент входных переменных изучаемого объекта , оказывающих существенное влияние на изменение выходной переменной , возникает необходимость построение модели зависимости на основании априорной информации и экспериментальных данных .

Пусть об искомой однозначной зависимости известно её частное описание относительно некоторого ограниченного набора признаков

и выборка экспериментальных данных, составленная из статистически независимых значений переменной исследуемой зависимости .

Задача состоит в построении модифицированной гибридной модели искомой зависимости, совмещающей в одном решающем правиле всю имеющуюся априорную информацию.

Синтез модифицированной гибридной модели с учётом частного описания. На первом этапе синтеза структуры модифицированной гибридной модели, используя статистическую выборку , проводится идентификация параметров модели .

Далее формируется выборка

,

составленная из значений функции невязок (3.39), например

между экспериментальными данными и параметрической моделью в пространстве , где - оценки параметров модели .

Для восстановления функции невязок по выборке воспользуемся непараметрической регрессией (3.5)

,

,

где - ядерная функция, удовлетворяющая свойствам

, , .

Тогда гибридная модель стохастической зависимости с учётом её частного описания представляется статистикой

. (3.40)

Асимптотические свойства гибридной модели (3.40) определяются следующим утверждением.

Теорема 3.4. Пусть: 1) восстанавливаемая зависимость представима суммой однозначных функций ; 2) функции и плотности вероятности , , ограничены вместе со своими производными до второго порядка включительно; 3) - относится к классу ограниченных, положительных, симметричных и нормированных функций; 4) последовательность параметров ядерных функций такова, что при значения , а . Тогда модифицированная гибридная модель (3) обладает свойствами асимптотической несмещённости и состоятельности.