10.3. Гидродинамические критерии подобия

Рассмотрим порядок получения критериев, в которых учи­ты­ва­ется действие тех или иных сил.

1. Рассмотрим движение вязкой жидкости по горизонтальному тру­бо­про­воду. В этом случае решающее значение имеют силы внутрен­него трения.

По гипотезе Ньютона эти силы могут быть выражены следующим образом:

. (10.10)

Для натурного и модельного потоков получим отношение вида

. (10.11)

Приравнивая правую часть отношения (10.11) к полученному выше основ­ному уравнению динамического подобия, получим

. (10.12)

Преобразуем выражение (10.12) к виду

.

Заменив отношение кинематической вязкостью , получим

(10.13)

Отсюда критерий Рейнольдса

, (10.14)

где – характерный размер, в частном случае – диаметр трубы:

. (10.15)

Следовательно, в рассматриваемом случае критерием дина­ми­ческого подобия является число Рейнольдса и условие подобия (10.13). Это равносильно тому, что число Re одинаково для обоих потоков.

Физический смысл критерия Рейнольдса заключается в том, что он харак­те­ризует отношение силы инерции к силе трения (вязкости).

Рассмотрим движение по трубопроводу неньютоновской вязко­пластичной жидкости при определении сил внутреннего трения, которые в этом случае обусловлены как вяз­кими, так и пластичными ее свойствами. Тогда необходимо учиты­вать напряжение сдвига ₀, а именно:

. (10.16)

Запишем уравнение (10.8) с учетом уравнения (10.16):

.

Преобразуем это выражение к виду

,

тогда

,

где – критерий Рейнольдса для ньютоновской жидкости;

– критерий Сен-Венана (Ильюшина), характеризующий пластические свойства жидкости.

Окончательно можно записать:

. (10.17)

2. Если влияние вязкости жидкости незначительно и движение жидкости преимущественно обусловлено действием сил тяжести, то в основное уравнение динамического подобия (10.8) вместо силы Р надо подставить значение силы тяжести:

, (10.18)

где – масса жидкости; – ускорение тяжести.

Запишем уравнение (10.8) с учетом формулы (10.18)

или после сокращений

. (10.19)

Соотношение (10.19) называется законом подобия Фруда, а – критерием Фруда. Он характеризует отно­ше­ние силы инерции к силе тяжести.

Критерий Фруда применяется при моделировании большинства гидротехнических сооружений, истечении жидкости через водо­сли­вы, при изучении волнового сопротивления, испытываемого дви­жу­щимися кораблями.

Если преобладающее влияние имеет сила поверхностного на­пря­жения (например при истечении жидкости из капиллярных отверстий), то в уравнение (10.8) вместо силы Р следует подставить вы­ра­жение силы поверхностного натяжения:

. (10.20)

Тогда имеем

.

Отсюда получим

. (10.21)

Соотношение (10.21) называется законом подобия Вебера, а выражение – критерием Вебера, который характеризует отношение сил инерции к силам поверхностного натяжения.