10. Основы теории подобия, моделирования и анализа размерностей

10.1. Основные положения

Решение дифференциальных уравнений гидродинамики охва­тывает ограниченный круг задач. В ряде случаев аналитическое ре­ше­ние сопряжено со значительными математическими трудностями. В частности, не всегда можно получить удовлетворительный ре­зуль­тат и с помощью численных методов. В таких случаях на помощь приходят экспериментальные методы исследования.

Цель этих исследований состоит в том, чтобы получить данные, необходимые для расчета других процессов, родственных изучаемо­му.

Эксперименты проводятся на специально создаваемых лабораторных установках, моделирующих определенным образом исследуе­мые устройства и протекающие в них физические процессы.

Известны физический и математический методы моделирования.

При физическом моделировании исследуемая модель обычно вы­пол­няется в меньшем масштабе, чем оригинал (натура), и вос­про­изводит изучаемое явление с сохранением его физической природы.

Математическое моделирование осуществляется путем изучения явлений, имеющих иное, чем исследуемый процесс, физическое со­дер­жание, но описываемых аналогичными математическими урав­нениями.

10.2. Законы механического подобия

Полученные на модели результаты опытных исследований об­общаются и затем переносятся на натуру. Выполнение этой про­цедуры требует знаний законов, связывающих между собой вели­чины, полученные при исследованиях на модели, и соответствующие им величины в натуре.

Эти законы называются законами подобия. Они устанавливают определенные соотношения между геометрическими размерами, ки­не­матическими и динамическими характеристиками потоков в мо­дели и натуре.

Законы подобия подробно изучаются в специальных курсах теории подобия и моделирования.

Следует отметить, что теория подобия имеет большое теорети­чес­кое и практическое значение не только для моделирования раз­лич­ных явлений и процессов, но и прежде всего для научного обос­нования экспериментальных исследований, обработки их ре­зуль­та­тов и построения на их основе рациональных эмпирических формул.

Динамическое или вообще физическое подобие является обобщением геометрического подобия.

Рассмотрим способы получения масштабных коэффициентов для геометрического, кинематического и динамического подобия.

10.2.1. Геометрическое подобие

Пусть имеем натурный объект (поток) (рис. 10.1), подлежащий гидродинамическому исследованию, и его модель.

Рис. 10.1

Обозначим геометрические размеры объекта (натурного потока) индексом 1, а модельного – индексом 2.

Чтобы получить область течения в модели, геометрически по­доб­ную натурному потоку, разделим все линейные размеры натурного потока на некоторое число k, которое называется линейным масш­табом. Таким образом получаем связь между геометрическими раз­ме­рами а₁ и а₂, b₁ и b₂, в виде равенств:

. (10.1)

Линейные размеры, связанные соотношением (10.1), называют соответственными, или сходственными. Точки, координаты которых удовлетворяют этому соотношению, называют сходственными.

Безразмерные координаты сходственных точек одинаковы.

Обычно за единицу измерения всех линейных величин в со­от­ветст­вующих потоках принимают L₁ (натура), L₂ (модель) и нахо­дят линейный масштаб :

. (10.2)

Для площадей и объемов соответственно имеем:

(10.3)

Очевидно, что для геометрических подобных потоков необходи­ма пропорциональность соответствующих площадей и объемов.