10.2.2. Кинематическое подобие

Кинематическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­ческое подобие, т.е. для кинематического подобия необходимо, что­бы траектории частиц обоих потоков были подобны геометрически.

Кроме того, для кинематически подобных потоков отрезки тра­екторий соответствующих частиц натурного и модельного потоков, а также отрезки времени, в течение которых протекают соответ­ст­вую­щие процессы в натуре и в модели, должны быть пропорциональны.

Другими словами, если в первом потоке (натуре) частицы про­ходят путь L₁ за время t₁, то во втором потоке (модели) – путь L₂ за t₂.

Причем, отрезки L₁ и L₂ должны быть геометрически подобны, а отношение должно быть одинаковым для сходственных точек обо­их потоков.

Отношение называется масштабом времени и обозначается k_t. Например, для скоростей частиц жидкости в сходственных точках потока получаем следующие выражения:

Тогда

.

Очевидно, что

.

Аналогично находим масштаб ускорений:

.

Таким образом, скорости и ускорения в сходственных точках по­тока связаны соотношениями

. (10.4)

10.2.3. Динамическое подобие

Динамическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­чес­кое и кинематическое подобия. В любых потоках, если физическая природа действующих на жид­кость сил одинакова и силы образуют геометрически подобные силовые многоугольники, они являются динамически подобными.

В динамически подобных потоках отношение одноименных сил в сходственных точках в натуре и на модели постоянны, т.е.

, (10.5)

где Р – любая сила, в том числе и равнодействующая; – масштабный коэффициент сил или масштаб сил.

К силам, действующим в потоке жидкости, можно отнести силы: внутреннего трения жидкости, тяжести, поверхностного натяжения и др.

Для динамически подобных потоков отношение плотностей жид­кости в натуре и на модели должно быть постоянным:

. (10.6)

Обозначим действующие в сходственных точках натурного и мо­дельного потоков силы Р₁ и Р₂ соответственно. По закону Ньютона сила рав­на произведению массы на ускорение:

,

где m – масса жидкости; – ускорение.

Учитывая, что масса равна произведению плотности на ее объем , где , тогда .

Ускорение определяется приращением скорости в единицу времени t, т.е. .

Следовательно,

. (10.7)

Таким образом, для динамического подобия необходимо, чтобы силы находились в соотношении

. (10.8)

Выражение (10.8) является математическим выражением общего закона динамического подобия, впервые сформулированным Ньютоном.

Преобразуем выражение (10.8) к виду

. (10.9)

Следовательно, – критерий Ньютона, являющийся обобщенным критерием динамического подобия меха­ни­ческих систем.

В гидродинамических исследованиях во многих случаях ока­зывается невозможным найти количественные оценки действующих внешних сил, а, следовательно, и их равнодействующей. Поэтому при изучении гидравлических явлений часто выделяют только одну силу, а действием остальных пренебрегают. В этом случае применяют частные критерии Рейнольдса, Фруда, Вебера и др.