25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению

Пусть uRⁿ,произвольный вектор единичной длины,т.е. U=1

Производной ф-ии f(x) в т. y по напр-ию вектора U наз-ся предел:

f(y)/U=lim_t0(f(y+tu)-f(y))/t

tR по сути f(y)/U – это скорость изменения функции f(x) в точке y по направлению вектора U

Т-ма о производной по напр-ю

Произв-я ф-ии f(x) в т. y по напр-ю вектора U нах-ся по ф-ле:

f(y)/U=_j=1ⁿ(f(y)/x_j)*U_j=^Tf(y)*U.

26. Понятие градиента ф-ии. Теорема о градиенте

Градиентом f(x) функции f(x) наз вектор компоненты которго равны частным производным 1-ого порядка данной функции в точке x ^Tf(x)=(f(x)/x₁, f(x)/x_2,… f(x)/x_n).

Т-ма о градиенте

Градиент f(y)ф-ии f(x) в т. y указывает напр-е наискорейшего роста ф-ии f(x) в т.y;при этом мах-я скорость роста= модулю градиента UR

Max f(y)/U=f(y)

27 Понятия множества уровня ф-ии, касательной гиперплоскости к мн-ву уровня ф-ии, вектора нормали к гиперплоскости

Пусть Rⁿ-нек-е число,а f(x)-нек-я ф-ия, где xRⁿ. Множ-м M_ ур-ня β ф-ии f(x) наз-ся множ-во всех таких т. xRⁿ,коор-ты кот-х удовл-т ур-ию f(x)= β

В плоском сл-е,когда n=2, множ-во ур-ия β наз-ся линией ур-ия β.

В сл-е n>=3-поверхностью ур-ия β

Касат-й гиперпл-тью к множ-ву ур-ня β ф-ии f(x) в т. y из этого мн-ва наз-ся множ-во xRⁿ удовл-х ур-ию:

^Tf(y)*(x-y)=0 (1)

при =2, кас-я гиперпл-ть наз-ся кас-й прямой

при =3,кас-й пл-ти

Рассмотрим гиперплоскость r_={xRⁿ:c^Tx=}

вектором нормали(нормалью) в гиперпл-ти r_ наз-ся вектор c, компонентами кот-го служат коэф-ты при перем-х x_j в ур-ии гиперпл-ти r_

c^Tx= т.е. c^T=(c₁,c₂…c_n)

Вектор нормали с ортогонален гиперпл-ти r_. В сл n=2 и n=3 ортогон-ть означает перпендикулярность

Из ур-ия (1) след-ет,что градиент ф-ии явл-ся в-ром нормали к любой касат-й гиперпл-ти к множ-ву ур-ня этой ф-ии.

28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора

Ф-ла Тейлора.

Пусть f(x)-нек-я ф-ия,если она диф-ма m+1 раз, в нек-й окрест-ти O_(y) в т. yRⁿ,то справ-ва ф-ла Тейлора:

f(x)=_[k]=0^m 1/k! ^[k]f(y)/x₁^k1x₂^k2…x_n^kn*(x₁-y₁) (x₂-y₂)… (x_n-y_n)+0(x-y^m) (2)

[к]=к₁+к₂+…к_n,

где к1,к2,…,кn-целые числа

0(x-y^m)-остаточный член в форме Пеано,облад-й св-м: lim_xy0(x-y^m)/ x-y^m=0 (3)

т.е. остаточный член-пренебрежимо малая величина,по сравнению с. x-y^m

Представление f(x)по ф-ле Тейлора (1) наз-ся разложением Тейлора ф-ии f(x) с точностью до производных m-го порядка

В частн разложение Тейлора функции f(x) в точке y с точностью до производных 2ого порядка есть:

f(x)=f(y)+^Tf(y)(x-y)+(x-y)^TH9y)(x-y)+0(x-y² (4)

где H(y) – матрица Гессе функции f(x) в точке y

f(x)=f(y)+_j=1ⁿf(y)/x_j(x_j-y_j)+1/2_i=1ⁿ_j=1ⁿ(x_i-y_i)²f(y)/x_ix_j*((x_j-y_j)+0x-y²)

В частн если точка y явл стационарной, то из (4) вытекает:

f(x)f(y)+1/2(x-y)^TH(y)(x-y)

в одномерном случае для

f(x)=_k=0^m1/k!f^(k)(y)(x-y)^k+dx-y^k+1 (6)

f^k(y)=d^kf(y)/dx^k

если функция f(x) явл аналитической т.е. бесконечно дифференцируемой, то тогда она может быть разложена в ряд Тейлора, когда m в формуле (2)

f(x)=_[k]=0^ 1/k! ^[k]f(y)/x₁^k1x₂^k2…x_n^kn*(x₁-y₁) (x₂-y₂)… (x_n-y_n) (7)

в одномерном случае когда xR¹

f(x)=_k=0^f^k(y)/k!(x-y)^k (8)

Разложение Тейлора мощное средство мат анализа позволяющее представить функцию в виде степенного ряда с целью последовательного вычисления или применения прикладных задач.

29 Теорема о необходимых условиях экстремума. Теорема о достаточных условиях экстремума. Теоремаоб условиях опр-ти м-цы (критерий Сильвестра). Классический метод поиска экстремума ф-ии без ограничений (схема реализации)

Теорема о необходимых условиях экстремума

Пусть ф-ия f(x) имеет в т. x^* экстремум, тогда все ее частные произв-ые первого порядка в этой т.=0, т.е. x^* явл-ся стацион-й т.:

f(x^*)/x_j=0, j=1,n (1)

соотношение (1) эквивалентно следующему соотношению:

f(x^*)=0 (2)

Т-ма о дост-х усл-х экстремума.

Пусть ф-ия f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стац-й т.x^*,тогда т. x^*

Явл-ся т. мах-ма,если м-ца Гессе Н(x^*) ф-ии f(x)в т. x^* отриц-но опр-на, и т. min-ма,если м-ца Н(x^*) полож-но опр-на. Док-во: следует из разложения Тейлора в стационарной точке

Классич-й м-од поиска экстремума ф-ии

1) решить сист-у ур-й f(x^*)/x_j=0 j=1,n либо f(x^*)=0 и найти все стац-ые т.-и подозрительные на экстремум

2) уст-ть тип опр-ти м-цы Гессе во всех найден-х стац-х т.-х и опр-ть тип экстремума в этих т.-х(мах или мin)

Т-ма об усл-х опр-ти м-цы

Справед-вы след-е усл-я:

1)квад-я м-ца полож-но опр-на когда значения всех ее гл-х миноров полож-ны

2) квад-я м-ца отриц-но опр-на когда знак ее гл-го минора к-го порядка опр-ся знаком (-1)^к

Замечание

Если при реализации классического метода поиска экстремума матрицы Гессе целевой функции в стационарной точке не явл не положит не отриц определённой, то тогда для выяснения типа возм экстремума функции требуется исследовать или рассмотреть разложение этой функции по формуле Тейлора с точностью до производной болеее второго порядка или 2