- •1 Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2 Определители. Определение и свойства определителей
- •3.Алгебраическое дополнение и минор
- •4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
- •Теорема об умножении определителей
- •5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •Теорема об обратной матрице
- •6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
- •7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) м-цы. Теорема о ранге м-цы.
- •Ранг матрицы Аm*n – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы r(a)
- •8 Поиск ранга матрицы методом элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований
- •Метод окаймляющих миноров
- •9 Слу. Формы представления слу
- •10 Элементарные преобразования слу
- •11 Теорема Кронекера-Капелли
- •12 Метод Крамера решения слу
- •13 Метод Гаусса решения слу
- •14 Балансовая модель Леонтьева
- •18 Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника
- •19 Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения ситемы линейных неравенств
- •20Общая постановка змп
- •21 Понятие эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого мн-ва, ограниченного мн-ва, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума
- •22 Понятие частной производной ф-ии, стационарной ф-ии, градиента и матрицы Гессе
- •23 Понятие квадратичной формы м-цы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы
- •24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
- •25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению
- •26. Понятие градиента ф-ии. Теорема о градиенте
- •27 Понятия множества уровня ф-ии, касательной гиперплоскости к мн-ву уровня ф-ии, вектора нормали к гиперплоскости
- •28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
- •30 Постановка знлп с огран-ми - рав-ми
- •31 Назначение и обоснование метода множителей Лагранжа
- •32 Схема реализации метода множителей Лагранжа
- •33 Интерпретация мн-лей л. Теорема л.
- •34Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
- •35 Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа
- •36 Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа
- •37 Условия Куна- Таккера. Теорема Куна - Таккера. Условие дополняющей нежесткости
- •38 Понятие выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой) ф-ии. Св-ва выпуклых (вогнутых) ф-ий. З-ча выпукло-вогнутого программирования
- •39 Достаточность условий Куна-Таккера в з-чах выпукло-вогнутого программирования. Т-ма о единств-ти экстр-ма строговыпуклой (строговогнутой) ф-ии
- •40 Метод Куна- Таккера решения задач выпукло-вогнутого программирования. Методы реш-я плохо обусловленных знлп. Теорема Вейерштрасса
- •41 Общая постановка злп и формы её представления. Теорема о эквивалентности форм представления злп
- •42 Понятие угловой точки (вершины) выпуклого многогранника, опорного плана злп. Понятие оптимального плана злп. Понятия вырожденного и невырожденного опорного плана
- •43 Теорема Каратеодори. Теорема о решении злп. Теорема о вершине
- •44 Назначение и обоснование графического метода решения злп
- •45 Графический метод решения злп
- •46 Назначение и обоснование см
- •47 Алгебра см
- •48А Правила пересчёта с-т
- •49 Метод искусственного базиса (м-метод). Назначение м-метода
- •50 Схема реализации м-метода
- •51.Сим.-т для реализации метода искусств.Базиса.
- •52 Понятие двойственной пары злп
- •53 Двойственная лемма. Понятие прямых и двойственных оценок
- •54 Первая, вторая теорема двойственнрсти
33 Интерпретация мн-лей л. Теорема л.
Интерпретация множ-й Лагранжа
Анализируя знач-я множ-й Лагранжа мжноо получить доп-ю ценную инф-ию о задаче. Во многом именно с этим связано широкое распр-е м-да множ-й Лагранжа. Множ-ли Лагранжа измеряют чувств-ть оптим-го знач-ия f*=f(х*), к изм-ям значений компонент вектора правой части огр-ний b.Что след-ет из т-мы
Т-ма Лагранжа
Пусть х* -решение задачи:
f(x)max(min) (1)
g1(x)=b1
g2(x)=b2
… (2)
gm(x)=bm
или
f(x)max(min) (3)
g(x)=b (4)
,а вектора g1(x*),g2(x*),…,gm(x*),опр-щие строки м-цы Якоби Rg(x*), явл-ся линейно независ-ми,тогда сущ-ет единств-й вектор множ-й
Лагранжа *, удовлетворяющий вместе с x* сис-ме усл-й:
причем
34Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
Решается задача
f(x)= f(x1,…, xn)max(min) (1)
xi=i(xm+1,…, xn), i=1,m (2)
Подставляя выражение (2) на место аргументов xi в целевую функцию (1), имеем:
f(x)=f(1(xm+1,…xn), 2(xm+1,…xn),… n(xm+1,…xn), xm+1,xm+2,…xn)=Fn(xm+1…xn)max(min)
В итоге задача поиска экстремума функции f(x) с ограничениями (2) свелась к задаче поиска экстремума функции Fn(xm+1…xn) без ограничений. Эту задачу можно решить классическим методом и получить x*m+1,x*m+2,…x*n
Подстановка этих значений в (2) даёт искомое значение для xi=i(x*m+1,…x*n) Что решает эту задачу.
35 Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа
Метод предназначен для решения задач:
f(x)max(min) (1)
gi(x)<=bi, i=1,m (2)
и основан на том факте, что, если точка безусловного экстремума ф-ии f(x) не удовлетворяет всем огр-ям (2), то тогда реш-е з-чи должно достигаться в граничной точке области огр-ний. След-но тогда одно или неск-ко огр-ний -нер-в сис-мы (2) должны вып-ся как точные рав-ва (быть активными).
36 Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа
1)Исходная задача:
f(x)max(min) (1)
gi(x)<=bi, i=1,m (2)
реш-ся без учета огр-ий (2). Если получ-е решение удовл-ет всем огр-ям (2),то оно запоминается. Далее след-ет положить к=1 и перейти к 2).
2) Активиз-ся(преобр-ся в равенство) любые к-огран-ий исходной задачи. Решается задача поиска экстремума целевой ф-ии обычным способом Л., при наличии к-активных ограничений-равенств. Если получ-е решение этой задачи удовл-ет всем огр-ям исходной,то оно запомин-ся, после чего актив-ся др-ие к-огран-ий исходной задачи и шаг 2 повтор-ся.Если все наборы по к активных огр-ний - pа-в из общего числа m исходных огр-ний (2) рассмотрены, то соотв-щие з-чи решены, следует перейти на шаг 3, положив при этом к:=к+1.
3)если к=m+1, выч-ия заканч-ся. Все запомненные на пред-х шагах реш-ия сравниваются, и среди них выбирается наилучшее, которое и объявляется оптимальным планом исходной з-чи. Если же к<=mто сл=ет перейти на шаг 2.