7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) м-цы. Теорема о ранге м-цы.

Минором k-ого порядка матрицы А наз определитель матрицы размерности k*k составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A

Ранг матрицы Аm*n – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы r(a)

Ранг матрицы можно найти 2 способами:

1) метод окаймляющих миноров

2) метод элементарных преобразований.

Система столбцов G наз базисом системы столбцов матрицы, если:

1) все столбцы системы G явл столбцами этой матрицы

2) система G линейно зависима

3) любой A_q (столбец матрицы А) может быть представлен в след виде:

 ₁,₂,…,_k

_j=1^k_jA_j=A_q

т. е. любой столбец матрицы можно представить в виде линейной комбинации её базисных столбцов.

Любой отличный от 0 минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы наз её базисным минором

Теорема о базисном миноре

Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк этой матрицы или столбцов, при этом система строк или столбцов матрицы, содержащая базисный минор образует базис системе всех строк (столбцов) матрицы

8 Поиск ранга матрицы методом элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований

Св-ва ранга

1) ранг матрицы А r(A)min (m,n) r(A)0

2) r(A^T)=r(A)

3) если матрица А диагональна, то её ранг равен числу ненулевых элементов её главной диагонали

r(E_n*n)=n

4) Ранг матрицы не меняется при её элементарных преобразованиях

Метод элементарных преобразований основан на том свойстве, что ранг матрицы не меняется в результате элементарных преобразований. Проделывая элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы её приводят к такому виду , что элементы a₁₁ a₂₂…a_ss0, а все остальные её элементы равны 0, тогда очевидно, что её ранг r(A)=S.

Метод окаймляющих миноров

Пусть некоторый минор матрицы k-ого порядка М_k0, тогда ранг этой матрицы по меньшей мере равен k. Рассмотрим все окаймляющие миноры (содержащие в себе минор М_k). Если M_k=0, то значит ранг матрицы равен k, но если найдётся хотя бы один M_k+1 порядка 0, тогда процедура повторяется снова

9 Слу. Формы представления слу

СЛУ наз любая конечная совокупность линейных уравнений. Система из m уравнений, n неизвестных в развёрнутой форме записи имеет вид:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=b₂

....................................

a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=b_m

более компактной записи СЛУ явл запись в векторно-матричном виде:

Ах=b, где xR², AR^m*n, bR^m

a₁₁ a₁₂...a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ...a_2n - матрица системы

a_m1 a_m2 ...a_mn

b₁

b₂

b= .... – вектор правой части системы

b_m

x₁

x₂

x= ... – вектор неизвестных.

x_n

Ещё одной формой предствавления СЛУ явл векторная форма записи:

_j=1ⁿA_jx_j=b здесь А_j – j-ый столбец матрицы А, х_j – j-ая компонента вектора х

Система наз совместной если у неё есть хотя бы одно решение в противном случае эта система наз несовместной

СЛУ наз определённой, если у неё есть только одно решение и неопределённой, если у неё есть множество решений

2 СЛУ наз эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают

Если в правой части СЛУ т.е. вектор свободных членов равен 0, то такая система наз однородной, иначе СЛУ наз неоднородной

Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет тривиальные решения х=0