10 Элементарные преобразования слу

Любое целенаправленное изменение СЛУ наз её преобразованием

К элементарным преобразованиям относятся следущие:

1) перестановка уравнений системы местами

2) вычёркивание из СЛУ пустого уравненияследущего элемента 0х₁+0х₂+…0х_m=0

3) умножение левой и правой части ситстемы на число 0 в каком-либо из уравнений

4) прибавление к какому-либо из уравнению системы др уравнения этой системы, умноженного на произвольное число 0. Любое элементарное преобразование СЛУ даёт систему, эквивалентную исходой

11 Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы СЛУ Ах=b была совместной необходимо и достаточно. Чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

r(A) =r(AB) расширенная матрица системы получается присоединением к матрице системы А вектора свободных членов bZ

Следствие

Однородная СЛУ Ах=0 имеет не нулевое решение, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её неизвестных

12 Метод Крамера решения слу

Этот метод предназначен для решения СЛУ в которых количество уравнений равно числу неизвестных т.е. для систем с квадратной матрицей системы

В основе метода лежит теорема Крамера:

1) СЛУ квадратной матрицы Ах=b , АR^n*n xRⁿ_, bRⁿ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det (A)0

2) Если опр-ль м-цы системы не равен 0, то ее решение может быть найдено по формуле: x_j=Д(b_j)/Д

где Д=det (A), Д(b_j) – это определитель матрицы, которая получается заменой j-ого столбца матрицы А на вектор свободных членов

Для СЛУ прямоугольной матрицы также модно использовать метод Крмера, но предварительно систему следует преобразовать

13 Метод Гаусса решения слу

Описание метода

Метод Гаусса состоит в последовательном выполнении шагов на каждом из которых (k-ом по очереди) производятся следущие основные действия:

1 Из системы, полученной после k-1 предыдущих шагов вычёркиваются все пустые уравнения вида: 0х₁+0х₂+…0х_n=0

если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение вида

0х₁+0х₂+…0х_n=b0

преобразования заканчиваются с выводом о несовместимости системы

2 Пусть противоречивых уравнений нет, тогда 1 из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:

а) на предыдущих шагах выбранное уравнение не было разрешающим

б) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от 0. Этот коэффициент наз разрешающим элементом

3 Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключается разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибавляется разрешающее уравнение умноженноена соответствующее число

Преобразования заканчиваются, если ни одно из уравнений не может быть взято за разрешающее (все они перебывали в этой роли) Те неизвестные, которые в процессе преобразований были разрешающими наз базисными. Те неизвестные, которые не были разрешающими наз свободными. Если финальная СЛУ содержит столько же уравнений, сколько неизвестных, но число свободных равно 0, в этом случае исходная СЛУ имеет единственное решение. В случае, когда число уравнений финальной системы меньше числа неизвестных, то исходная система имеет бесчисленное множество решений, при этом свободные неизвестные могут принимать любые значения базисных однозначно определяются значениями свободных.

Замечание 1.

Реализация метода Гаусса даёт ответ на вопрос о совместности системы. Система совместна тогда и только тогда, когда при реализации метода Гаусса не возникает противоречивых уравнений

Замечание 2

Реализация метода Гаусса автоматически позволяет вычислить ранг матрицы исходной системы. Он равен числу базисных неизвестных или числу уравнений финальной системы

Замечание 3

Финальную систему, которая эквивалентна исходной всегда можно рассмотреть в качестве исходной и перерешать. Это делается в том случае, когда необходимо поменять местами некоторые базисные неизвестные с некоторыми свободными

Замечание 4

Преобразования системы методом Гаусса эквивалентны аналогичным преобразованиям её расширенной матрицы, при чём на любом шаге к системе может быть применено любое элементарное её преобразование