Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
11111111111.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
04.12.2018
Размер:
287.23 Кб
Скачать

14 Балансовая модель Леонтьева

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через xi, i=1,n, величину валового выпуска в условных единицах i-ой отрасли за некоторый период. Через zij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью. Предположим, что экономика находится в стабильном состоянии, при котором выполняется уравнение баланса:

x1=z11+z12+...+z1n+y11

x2=z21+z22+...+z2n+y2

.................................. (1)

xn=zn1+zn2+...+znn+yn

где yj – конечный продукт i-ой отрасли (та часть валового выпуска, которая не участвует в производстве, а продаётся)

Леонтьев предложил выразить взаимные потребления zij отраслей в виде линейной функции:

(2) zij=aij*xj, где aij – технологический коэффициент, содержательного означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед) необходимый для производства единицы продукции j-ой отрасли

Следствием чего балансовое уравнение (1) принимает вид:

x1=a11x1+a12x2+...+a1nxn+y1

x2=a21x1+a22x2+...+a2nxn+y2

xn=an1x1+an2x2+...+annxn+yn

(3) X=AX+Y – балансовая модель Леонтьева

x1

X= … - вектор валового выпуска

xn

А – стр-ая матрица

А=(аij)n*n

y1

Y= ... – вектор конечного продукта

yn

C помощью анализа уравнения (3) можно решать множество прикладных задач экономики.

15 Понятие точки, радиус-вектора точки в многомерном пространстве. понятие вектора, его модуля, скалярного произведения векторов. Ф-ла, определяющая угол между векторами. Поянтие ортогональности векторов

Любая точка Х характеризуется двумя числами (х12) координатами этой точки, с др стороны любой упорядоченный набор чисел х1,х2 – это вектор хR2, который может быть интерпретирован как направленный отрезок из начала координат в точку Х. Интерпретируемый таким образом вектор х наз радиус-вектор точки Х.

По аналогии будем считать, что набором n чисел, который можно представить в виде n-мерного вектор-столбца.

Его длина или модуль вектора есть х=х1222 Все точки отрезка Ох могут быть описаны с помощью вектора х, где [0,1], т к умножение вектора на число не меняет его направления.

Распространим рассмотренные элементы плоскости на многомерные пространства. Предположим, что набор чисел (x1,x2,...xn) определяется точкой в n-мерном пространтве. При этом радиус-вектором этой точки является вектор RnxT=( x1,x2,...xn)

Т.о. элементы векторного пространства Rn можно интерпретировать как точки и как радиус-векторы направленные отрезки из начала координат в эти точки, поэтому далее под фразой «xRn» будем понимать точку n-мерного пространства с радиус-вектором х.

Модулем x(длиной вектора хRn назовём величину

х=j=1nxj2

Скалярным произведением (x,y,) векторов x,yRnназ величина (x,y)=j=1nxjyj

Углом x,y между векторами x,y наз угол определяемый по формуле:

x,y=arccos(<x,y>/ xy)

Вектора x,y для которых x,y=0 наз ортогональными

16 Понятие линейной комбинации и выпуклой линейной комбинации векторов. Понятия линейной независимости и линейной зависимости векторов. Понятие базиса и канонического базиса в Rn. Понятие отрезка, соединяющего две точки в Rn.Формула отрезка.

Система S={x1,x2...xn} где xjRn j=1,k наз линейнозависимой, а вектора этой системы линейно зависимыми если существует набор чисел 1,2,…k одновременно не равных 0 такой что выполняется соотношение j=1njxj=0 (1)

В противном случае система S наз линейно независимой, а образующие её вектора линейно независимыми векторами. Левая часть соотношения (1) наз линейной комбинацией векторов системы S.

Система G={g1,g2...gn} где gjRn наз базисом в пространстве Rn? Если выполняются следущие условия:

1) Система G линейно независима

2) Любой вектор yRn представим в виде линейной комбинации векторов системы G

y=j=1nyjgj (2)

Формула (2) наз разложением y по базису G. При этом коэффициент yj в формуле (2) – это j-ые координаты вектора y в базисе G. Рассмотрим систему векторов {e1,e2,...en}. ejRn наз каноническим базисом n-мерного пространства:

e1T=(1,0...0)

e2T=(0,1,...0)

.....................

en-1T=(0,0,...0,1,0)

enT=(0,0,...0,1)

Если в некоторой линейной комбинации L=j=1piyi числа 1,2,…p удовлетворяют условиям: 1. j=1pi=1, 2. i>=0, i=1,p, то такая линейная комбинация наз-ся выпуклой линейной комбинацией.

Отталкиваясь от плоскости введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором p, который определяется p=x+(y-x) (4) [0,1] или, что тоже самое:

p=(1-)x+y (5)

Формулы (4) и (5) определяют отрезки плоскости, соединяющие точки x и y

Формулы (4) и (5) без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство. Пусть в (4) и (5) x,yRn – n-мерные вектора, тогда эти формулы описывают отрезки соеиняющие эти точки.

17 Выпуклые множества. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Понятие гиперплоскости в Rn. Поянтие полупространства.

Множество точек n-мерного пространства, содержащие все точки отрезка соединяющего любые 2 точки этого множества наз выпуклым множеством

Теорема о пересечении выпуклых множеств

Пересечение любого числа выпуклых множеств явл выпуклым множеством. Множество точек x удовлетворяющих условию cTx=, (6)где R1, cRn – заданный вектор наз гиперплоскостью в n-мерном пространстве.

Уравнение (6) наз уравнением гиперплоскости.

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость cTx= разделяет всё пространство Rn на 2 непересекающихся множества p1 и p2, наз полупространствами: p1={xRn:cTx}, p2={xRn:cTx>}.