- •1 Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2 Определители. Определение и свойства определителей
- •3.Алгебраическое дополнение и минор
- •4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
- •Теорема об умножении определителей
- •5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •Теорема об обратной матрице
- •6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
- •7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) м-цы. Теорема о ранге м-цы.
- •Ранг матрицы Аm*n – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы r(a)
- •8 Поиск ранга матрицы методом элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований
- •Метод окаймляющих миноров
- •9 Слу. Формы представления слу
- •10 Элементарные преобразования слу
- •11 Теорема Кронекера-Капелли
- •12 Метод Крамера решения слу
- •13 Метод Гаусса решения слу
- •14 Балансовая модель Леонтьева
- •18 Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника
- •19 Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения ситемы линейных неравенств
- •20Общая постановка змп
- •21 Понятие эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого мн-ва, ограниченного мн-ва, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума
- •22 Понятие частной производной ф-ии, стационарной ф-ии, градиента и матрицы Гессе
- •23 Понятие квадратичной формы м-цы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы
- •24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
- •25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению
- •26. Понятие градиента ф-ии. Теорема о градиенте
- •27 Понятия множества уровня ф-ии, касательной гиперплоскости к мн-ву уровня ф-ии, вектора нормали к гиперплоскости
- •28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
- •30 Постановка знлп с огран-ми - рав-ми
- •31 Назначение и обоснование метода множителей Лагранжа
- •32 Схема реализации метода множителей Лагранжа
- •33 Интерпретация мн-лей л. Теорема л.
- •34Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
- •35 Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа
- •36 Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа
- •37 Условия Куна- Таккера. Теорема Куна - Таккера. Условие дополняющей нежесткости
- •38 Понятие выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой) ф-ии. Св-ва выпуклых (вогнутых) ф-ий. З-ча выпукло-вогнутого программирования
- •39 Достаточность условий Куна-Таккера в з-чах выпукло-вогнутого программирования. Т-ма о единств-ти экстр-ма строговыпуклой (строговогнутой) ф-ии
- •40 Метод Куна- Таккера решения задач выпукло-вогнутого программирования. Методы реш-я плохо обусловленных знлп. Теорема Вейерштрасса
- •41 Общая постановка злп и формы её представления. Теорема о эквивалентности форм представления злп
- •42 Понятие угловой точки (вершины) выпуклого многогранника, опорного плана злп. Понятие оптимального плана злп. Понятия вырожденного и невырожденного опорного плана
- •43 Теорема Каратеодори. Теорема о решении злп. Теорема о вершине
- •44 Назначение и обоснование графического метода решения злп
- •45 Графический метод решения злп
- •46 Назначение и обоснование см
- •47 Алгебра см
- •48А Правила пересчёта с-т
- •49 Метод искусственного базиса (м-метод). Назначение м-метода
- •50 Схема реализации м-метода
- •51.Сим.-т для реализации метода искусств.Базиса.
- •52 Понятие двойственной пары злп
- •53 Двойственная лемма. Понятие прямых и двойственных оценок
- •54 Первая, вторая теорема двойственнрсти
14 Балансовая модель Леонтьева
Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через xi, i=1,n, величину валового выпуска в условных единицах i-ой отрасли за некоторый период. Через zij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью. Предположим, что экономика находится в стабильном состоянии, при котором выполняется уравнение баланса:
x1=z11+z12+...+z1n+y11
x2=z21+z22+...+z2n+y2
.................................. (1)
xn=zn1+zn2+...+znn+yn
где yj – конечный продукт i-ой отрасли (та часть валового выпуска, которая не участвует в производстве, а продаётся)
Леонтьев предложил выразить взаимные потребления zij отраслей в виде линейной функции:
(2) zij=aij*xj, где aij – технологический коэффициент, содержательного означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед) необходимый для производства единицы продукции j-ой отрасли
Следствием чего балансовое уравнение (1) принимает вид:
x1=a11x1+a12x2+...+a1nxn+y1
x2=a21x1+a22x2+...+a2nxn+y2
xn=an1x1+an2x2+...+annxn+yn
(3) X=AX+Y – балансовая модель Леонтьева
x1
X= … - вектор валового выпуска
xn
А – стр-ая матрица
А=(аij)n*n
y1
Y= ... – вектор конечного продукта
yn
C помощью анализа уравнения (3) можно решать множество прикладных задач экономики.
15 Понятие точки, радиус-вектора точки в многомерном пространстве. понятие вектора, его модуля, скалярного произведения векторов. Ф-ла, определяющая угол между векторами. Поянтие ортогональности векторов
Любая точка Х характеризуется двумя числами (х1,х2) координатами этой точки, с др стороны любой упорядоченный набор чисел х1,х2 – это вектор хR2, который может быть интерпретирован как направленный отрезок из начала координат в точку Х. Интерпретируемый таким образом вектор х наз радиус-вектор точки Х.
По аналогии будем считать, что набором n чисел, который можно представить в виде n-мерного вектор-столбца.
Его длина или модуль вектора есть х=х12+х22 Все точки отрезка Ох могут быть описаны с помощью вектора х, где [0,1], т к умножение вектора на число не меняет его направления.
Распространим рассмотренные элементы плоскости на многомерные пространства. Предположим, что набор чисел (x1,x2,...xn) определяется точкой в n-мерном пространтве. При этом радиус-вектором этой точки является вектор RnxT=( x1,x2,...xn)
Т.о. элементы векторного пространства Rn можно интерпретировать как точки и как радиус-векторы направленные отрезки из начала координат в эти точки, поэтому далее под фразой «xRn» будем понимать точку n-мерного пространства с радиус-вектором х.
Модулем x(длиной вектора хRn назовём величину
х=j=1nxj2
Скалярным произведением (x,y,) векторов x,yRnназ величина (x,y)=j=1nxjyj
Углом x,y между векторами x,y наз угол определяемый по формуле:
x,y=arccos(<x,y>/ xy)
Вектора x,y для которых x,y=0 наз ортогональными
16 Понятие линейной комбинации и выпуклой линейной комбинации векторов. Понятия линейной независимости и линейной зависимости векторов. Понятие базиса и канонического базиса в Rn. Понятие отрезка, соединяющего две точки в Rn.Формула отрезка.
Система S={x1,x2...xn} где xjRn j=1,k наз линейнозависимой, а вектора этой системы линейно зависимыми если существует набор чисел 1,2,…k одновременно не равных 0 такой что выполняется соотношение j=1njxj=0 (1)
В противном случае система S наз линейно независимой, а образующие её вектора линейно независимыми векторами. Левая часть соотношения (1) наз линейной комбинацией векторов системы S.
Система G={g1,g2...gn} где gjRn наз базисом в пространстве Rn? Если выполняются следущие условия:
1) Система G линейно независима
2) Любой вектор yRn представим в виде линейной комбинации векторов системы G
y=j=1nyjgj (2)
Формула (2) наз разложением y по базису G. При этом коэффициент yj в формуле (2) – это j-ые координаты вектора y в базисе G. Рассмотрим систему векторов {e1,e2,...en}. ejRn наз каноническим базисом n-мерного пространства:
e1T=(1,0...0)
e2T=(0,1,...0)
.....................
en-1T=(0,0,...0,1,0)
enT=(0,0,...0,1)
Если в некоторой линейной комбинации L=j=1piyi числа 1,2,…p удовлетворяют условиям: 1. j=1pi=1, 2. i>=0, i=1,p, то такая линейная комбинация наз-ся выпуклой линейной комбинацией.
Отталкиваясь от плоскости введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.
Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором p, который определяется p=x+(y-x) (4) [0,1] или, что тоже самое:
p=(1-)x+y (5)
Формулы (4) и (5) определяют отрезки плоскости, соединяющие точки x и y
Формулы (4) и (5) без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство. Пусть в (4) и (5) x,yRn – n-мерные вектора, тогда эти формулы описывают отрезки соеиняющие эти точки.
17 Выпуклые множества. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Понятие гиперплоскости в Rn. Поянтие полупространства.
Множество точек n-мерного пространства, содержащие все точки отрезка соединяющего любые 2 точки этого множества наз выпуклым множеством
Теорема о пересечении выпуклых множеств
Пересечение любого числа выпуклых множеств явл выпуклым множеством. Множество точек x удовлетворяющих условию cTx=, (6)где R1, cRn – заданный вектор наз гиперплоскостью в n-мерном пространстве.
Уравнение (6) наз уравнением гиперплоскости.
Теорема о разделяющей гиперплоскости
Любая гиперплоскость cTx= разделяет всё пространство Rn на 2 непересекающихся множества p1 и p2, наз полупространствами: p1={xRn:cTx}, p2={xRn:cTx>}.