Теорема умножения вероятности

Пусть проводится опыт со случайным исходом, в результате которого могут произойти (или не произойти) какие-то события А и В. Условной вероятностью события В, при наличии А называется величина:

При этом .

На практике эту формулу обычно читают в обратном порядке, поэтому ее записывают в следующем виде:

То есть вероятность произведений двух событий равна вероятности одного из них, умноженная на условную вероятность второго, при наличии первого.

Очевидно, что не важно, какое событие выбрать первым, а какое – вторым. Поэтому правило умножения вероятности можно записать и в виде:

Пример:

Из урны, содержащей 4 белых и 3 черных, шара вынимают (одновременно или последовательно) 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара – белые.

Решение:

Событие С является произведением двух событий А и В. . Где А – первый шар белый; В – второй шар белый. Найдем P(C) по формуле умножения вероятности:

Очевидно, что . Найдем . Для этого предположим, что событие А уже произошло, то есть первый шар – белый. После этого в урне осталось 6 шаров – из которых 3 белых.

В случае, когда события являются независимыми, то вероятность произведения таких событий равна произведению вероятности этих событий:

Пример:

Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (ВБР) первого узла . Определить надежность прибора в целом.

Решение:

Обозначим

А – безотказная работа прибора;

А₁ – безотказная работа первого узла;

А₂ – безотказная работа второго узла;

А₃ – безотказная работа третьего узла.

Откуда по теореме умножения для независимых событий получается

.

Следствием обоих основных теорем (сложения и умножения) является формула полной вероятности.

Формула полной вероятности

Допустим, что необходимо провести опыт об условиях которого можно сделать n - ичключающих друг друга предположения (гипотез):

H₁, H₂, … , H_n

Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторое событие. Вероятности гипотез известны и равны:

P(H₁), P(H₂), … , P(H_n)

Рассматривается некоторое событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез. Заданы условные вероятности события А при каждой из гипотез

Требуется найти вероятность события А. Для этого представим А как сумму n несовместных вариантов:

По правилу сложения вероятностей

По правилу умножения вероятностей

откуда

То есть безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведения вероятности каждой гипотезы на условную вероятность событий при этой гипотезе.

Пример:

Имеются 3 одинаковые урны. В первой – 2 белых и 3 черных шара; во второй – 4 белых и 1 черный; в третьей – з белых шара Найти вероятность того, что шар, в выбранной наугат урне, окажется белым.

Решение:

Событие А заключается в появлении белого шара. Рассмотрим 3 гипотезы:

Н₁ – выбрана первая урна;

Н₂ – выбрана вторая урна;

Н₃ – выбрана третья урна.

Условные вероятности при каждой из гипотез равны:

По формуле полной вероятности получаем:

Теорема гипотез (формула Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез

H₁, H₂, … , H_n

Вероятности этих гипотез известны и равны

P(H₁), P(H₂), … , P(H_n)

Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события А.

Спрашивается, как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением события А? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы. Из теоремы умножения имеем:

Отсюда

Заменяя P(A) – формулой полной вероятности имеем:

Это формула Бейеса.

Пример:

Имеются 3 урны. В первой – 3 белых и 1 черный шар; во второй – 2 белых и 3 черных шара; в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урны и вынимает из нее шар, который оказался белый. Найти после опытные вероятности того, что шар вынут из первой, второй и третьей урн.

Решение:

Гипотезы

Н₁ – выбрана первая урна;

Н₂ – выбрана вторая урна;

Н₃ – выбрана третья урна.

Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности этих гипотез равны

В результате опыта произошло событие А – из какой-то урны вынут белый шар. Условные вероятности события А при гипотезах Н₁, Н₂ и Н₃:

По формуле Бейеса:

Лекция №3