- •1 Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •1.1 Таблица интегралов
- •2 Методы подстановки и замены переменного
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •2.2 Примеры для самостоятельного решения
- •3 Интегрирование по частям
- •3.1 Вопросы для самопроверки
- •3.2 Примеры для самостоятельного решения
- •4 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •4.1 Вопросы для самопроверки
- •4.2 Примеры для самостоятельного решения
- •5 Интегрирование рациональных дробей
- •5.1 Вопросы для самопроверки
- •5.2 Примеры для самостоятельного решения
- •6 Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим интегралы вида
- •6.1 Вопросы для самопроверки
- •6.2 Примеры для самостоятельного решения
- •7 Варианты индивидуальных заданий
5.1 Вопросы для самопроверки
-
Как выделить целую часть у неправильной рациональной дроби?
-
Какие виды правильных рациональных дробей Вы знаете?
-
Как разлагаются правильные рациональные дроби на простейшие?
-
Как найти неопределенные коэффициенты А,В,С… в случае некратных линейных сомножителей знаменателя?
-
С чего начинать нахождение неопределенных коэффициентов в случае кратных линейных сомножителей знаменателя? Как найти остальные коэффициенты?
5.2 Примеры для самостоятельного решения
1. , 2. ,
3. , 4. .
6 Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим интегралы вида
,
когда в числителе и знаменателе могут присутствовать целые степени и .
1) Универсальным методом сведения такого типа интегралов к интегралам от рациональных дробей являются так называемая универсальная тригонометрическая подстановка . При этом ,
Выразим и через t
.
В результате исходный интеграл примет вид:
то есть получили интеграл от рациональной дроби относительно переменной t.
Универсальная подстановка работает всегда. Она, как правило, приводит к громоздким вычислениям, поэтому на практике стараются по возможности использовать более простые приемы.
2) Самая простая ситуация – интегралы вида:
и
Интегралы вида:
3)
Такие интегралы рационализируются подстановкой .
При этом , ,
,
,
.
В результате получим интеграл от рациональной дроби относительно t:
.
4) Интегралы вида где n и m – целые
Такие интегралы находятся по-разному в зависимости от четности n и m или (и) их знаков. Возможны три случая:
а) Хотя бы одно из чисел m и n – нечетное.
Пусть, например, . Тогда
Получили интеграл вида 2), который рационализируется подстановкой . В результате получим интеграл ,
который сводится к табличным.
б) m и n – оба четные и неотрицательные. В этом случае используются формулы понижения степени:
, , .
Пусть . Тогда
В подынтегральном выражении будут присутствовать слагаемые с четными и нечетными степенями .
Слагаемые с нечетными степенями интегрируются как в пункте а), а к слагаемым с четными степенями снова применим формулы понижения степени.
в) m и n – оба четные и среди них есть отрицательное. В этом случае используется подстановка , поскольку это есть частный случай пункта 4).
В интегралах от произведений и используются школьные формулы преобразования произведения в сумму функций.
Пример 34.
.
Пример 35.
.
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
: __ : __
: с, r:
Тогда получим:
Пример 36.
.
Пример 37.
.
Пример 38.
.
Рекомендуется самостоятельно дорешать пример.
Пример 39.
.
6.1 Вопросы для самопроверки
-
Какая подстановка называется универсальной тригонометрической и почему?
-
Какие тригонометрические формулы используются при интегрировании выражений, содержащих произведение неотрицательных четных степеней и ?
-
Как находятся интегралы в случае, когда в произведении на присутствует нечетная степень?
-
На каких формулах основано вычисление интегралов от функций ;; ?
-
В каких случаях используется подстановка ?