- •1 Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •1.1 Таблица интегралов
- •2 Методы подстановки и замены переменного
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •2.2 Примеры для самостоятельного решения
- •3 Интегрирование по частям
- •3.1 Вопросы для самопроверки
- •3.2 Примеры для самостоятельного решения
- •4 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •4.1 Вопросы для самопроверки
- •4.2 Примеры для самостоятельного решения
- •5 Интегрирование рациональных дробей
- •5.1 Вопросы для самопроверки
- •5.2 Примеры для самостоятельного решения
- •6 Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим интегралы вида
- •6.1 Вопросы для самопроверки
- •6.2 Примеры для самостоятельного решения
- •7 Варианты индивидуальных заданий
3.1 Вопросы для самопроверки
-
В чем суть формулы интегрирования по частям?
-
Какие типы интегралов находятся по данной формуле? Почему?
-
В каких случаях формула интегрирования по частям применяется несколько раз и почему?
-
Чем определяется выбор ?
3.2 Примеры для самостоятельного решения
1. 2.
3. 4.
4 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим интегралы следующих видов:
; .
;
Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.
Сначала научимся находить более простые интегралы видов и .
Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла , получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.
Пример 21. Пример 22.
.
Пример 23.
.
По той же схеме находятся интегралы вида
и
С помощью таких же действий, что и в предыдущих случаях, указанные интегралы сводятся к табличным. При этом в первом случае возникают табличные интегралы вида:
и .
Пример 24.
.
4.1 Вопросы для самопроверки
-
Какие виды интегралов, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе, вы знаете?
-
К каким табличным интегралам сводятся после выделения полного квадрата интегралы вида и ?
-
По какому принципу интегралы вида и разбиваются на два интеграла?
4.2 Примеры для самостоятельного решения
1. , 2. ,
3. , 4. .
5 Интегрирование рациональных дробей
Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат о том, что такое представление всегда возможно.
.
Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида
.
В частности при имеем только одно слагаемое: .
Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида
,
а при - одно слагаемое .
Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:
Пример 25. .
Пример 26. .
Пример 27.
.
Пример 28. .
Пример 29. .
Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида
I , III ,
II , IV .
Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида , которые находятся по рекуррентной формуле:
.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.
Пример 30. .
После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:
.
Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.
Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.
В результате получим:
.
Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.
Пример 31.
.
Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.
Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.
Пример 32.
.
Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:
Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:
Тогда
.
Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.
Пример 33. .
.
Положим :
Остальные неизвестные найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях:
Тогда
.
Первый из этих интегралов табличный, а второй вида III. Доведите до конца решение этого примера самостоятельно.
И, наконец, рассмотрим наиболее сложный случай, когда знаменатель содержит кратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.
Пример 34. .
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.
Итак, исходный интеграл разбился на два интеграла:
.
Решим каждый из них отдельно.
.
.
.
Итак,
.